(整理)几种求极限方法的总结

--------------------------几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过ns对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限1根据极限的定义：数列{nx}收敛a,〉0,NN,当n〉N时，有nx-a〈.例1用定义证明11limnnn证明：0,要使不等式11nn=11n成立：解得n11,取N=11，于是0,N=11，nN，有1,1nn即11limnnn2利用两边夹定理求极限1例2求极限nnnnnn22221312111lim解：设ncnnnn22212111则有：2222111nncnnnnnnnn同时有：22221111111nncnnnn，于是22,1nnncnnn由2222211,1nnnnnnnn.有22111nnnnncnnnnn已知：11limnnn∴nnnnnn22221312111lim=13利用函数的单调有界性求极限1--------------------------实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3设ax1，aax2，aaaxn（n=1,2,）(0a),求nnxlim解：显然nx是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见12xax，23xax，1nnxax，从而12nnxax，显然nx是单调增加的，所以2nnxax两段除以nx，得1nnaxx1axan这就证明了nx的有界性设lxn，对等式12nnxax两边去极限，则有nnnnxax12limlimall2解得214all4利用无穷小的性质求极限2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x)a是无穷小，函数g(x)在U（),a有界，则函数f(x)*g(x)(x)a是无穷小.例求极限)cos1(coslimxxx解4)221sin()221sin(2cos1cosxxxxxx2)221sin(2xx而)1(21221)221sin(0xxxxxx而,0)1(21limxxx故02_1limxxn5应用“两个重要极限”求极限2exxxxxx)11(lim,1sinlim0--------------------------例5求)1cos1(sinlimxxx解2sin1222sin211112(sincos)(sincos)(1sin)xxxxxxxxxx∴原式=exxxxx22sin2sin1)2sin1(lim6利用洛必达法则求极限2例6求xxx1sinarctan2lim（)00解：xxn1sinarctan2lim=11cos111lim22xxxn例7求极限xxx3tantanlim2（)解xxx3tantanlim2=3262cos26cos6lim2sin6sinlimsincos63sin3cos6lim)(cos3)3(coslim)3(tan)(tanlim222232,,2xxxxxxxxxxxxxxxxx7利用泰勒公式求极限2例8：求极限xxxxncossin1lim2解∵xxxxcossin12中分子为2x，∴将各函数展开到含2x项。当0x时，222211cos0(),sin0().2xxxxxxx从而--------------------------)(0)(021211)(0211)cos1(1cos22222xxxxxxx=1-)(04122xx)(0211)(01sin12222xxxxxx∴原式=)(043lim)(0411)(0211lim22222222xxxxxxxxnn8利用数列求和来求极限2有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。例9：求极限).2122321(lim2nnn2解：令nnns21223212，则143221225232121nnns122121212121nnnss-1212nn=,212211211*21211nnn从而nnnns21221121111，∴原式=3212112111lim1nnnn9用定积分求和式的极限2例10设函数f(x)在1,0上连续，且f(x)0,求nnnnfnnfnfnf)()1()2().1(lim2解令T=nnnnfnnfnfnf)()1()2().1(lim于是lnT=)()1().2().1(ln1nnfnnfnfnfn=)(ln))2(ln)1(ln1nnfnfnfn而dxxfnnkfTnknn)(ln1).(lnlimlnlim101所以nnnnfnnfnfnf)()1()2().1(lim=10)(lndxxf--------------------------10利用定积分求极限4利用定积分求极限可分为以下两种形式（1）nnnfnfnfnfn)()3()2()1(lim型.定理1设f(x)在1,0上可积，则有：nnnfnfnfnfn)()3()2()1(lim=10)(dxxf例12求nnnnnnn321lim4解：设f(x)=x,f(x)在1,0上可积。则nnnnnnn321lim=1oxdx=21（2）nnnnfnfnf)()2()1(lim型4.定理2设f(x)在1,0上可积，则有nnnnfnfnf)()2()1(lim=epx10)(lndxxf例13求nnnn!lim4解：nnnn!lim=nnnnnn2.1lim令f(x)=x,则有nnnn!lim=nnnnnn2.1lim=exp10lnxdx=e111利用数列的递推公式求极限3这种方法实际上包含有两种方法（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.例14设1a=1，22a，30412nnnaaa（1)n，求nnalim3解：递推公式可化为3（)12nnaannaa1设nnnaab1，那么311nnbb所以，121aab=1，--------------------------234323231,31aabaab21131nnnnaab将以上各式相加得2321313131311nnaa2131.21253113111nnna25limnna（1）如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+na，利用无穷小和极限的关系，只需证明0na（)n，便可确定数列的极限确实存在且就为A.例15证明数列2，2+21，2+2121，极限存在并求出这个极限3.解：由题意知递推关系为nnaa121，若数列的极限存在并设为A，则A=2+A1设nna21，有递推关系得1+nn211221，即nnn21)21(1因为11121)21(12)21(nnnnaaa而111212122nnnnna但2=1+12211，所以11122nn即)(0nn由此推出数列的极限存在并且就为1+212利用级数收敛的必要条件求极限1当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.收敛的必要条件：若级数1nnu收敛，则)(0nun例16计算2lim(!)nnnn--------------------------解：作级数12)!(nnnn，令2(!)nnnun101lim111limlim1nennuunnnnnn有达朗贝尔判别法知12)!(nnnn收敛.又有级数收敛的必要条件2lim(!)nnnn=0参考文献1陈传璋金福临朱学炎数学分析（第二版）高等教育出版社.1983.72解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6第19卷第2期3杨曼英《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报1994.第2期4唐守宪《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报2003.1第22卷第1期