关于几种曲线拟合基本方法的比较

关于几种曲线拟合基本方法的比较学院：材料科学与工程学院专业：材料学（博）姓名：郑文静学号：1014208040在实际工作中，变量之间的关系未必都是线性关系，更多时候，它们之间呈现出了曲线关系，在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到一些x和y数据，为了对位置点进行研究，很多时候，我们通过曲线拟合的方式，将这些离散点近似为一条连续的曲线，从而来预测或者得到所需结果。曲线拟合的方法很多，本文中，主要讨论了曲线拟合的三种基础方法--插值法、磨光法、最小二乘法的特点，并对其在科学实验和生产实践中的应用性进行了比较。插值法是函数逼近的一种基本方法，插值法就是通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。插值法中，选取不同的插值公式，来满足实际或运算需求，得到拟合的函数。其中，最基础的插值方法是三弯矩法，该方法是利用拉格朗日插值为基础，已知平面中的n+1个不同点，寻找一条n次多项式曲线通过这些点。该曲线具有唯一性。另外，还有三转角法，该方法是利用Henmiter插值为基础，其思路与三弯矩法相同，已知条件有所差别，在Henmiter插值中，不仅已知函数在一些点的函数值，而且，还知道它在这些点的导数值，甚至知道其高阶导数值，要求所求函数不仅满足过这些点，同时也要求其导函数，甚至高阶导函数满足条件。采用Henmiter插值法求得的多项式比拉格朗日法求得的多项式有较高的光滑逼近要求。此外，还有以分段和B-样条函数为基础的δ-基函数法，其中，样条函数是：对于[a,b]上的划分∆:𝑎=𝑥0𝑥1𝑥2⋯𝑥𝑛=𝑏，称函数S(x)为[a,b]上关于划分△的k次样条函数，记做Sk，△[a,b]。该方法避免了高次插值可能引起的大幅度波动现象，在实际中通常采用分段低次插值来提高近似程度。插值法常用于填充图像变换时像素之间的空隙。磨光法是适应保凸性要求的数据拟合方法。积分可以改变函数的光滑度，而微商是积分的逆运算，对函数进行积分，然后在微商，可以将函数还原。而差商近似为微商，对函数积分后差商，可以将函数近似还原，同时可以更光滑，这种变换就是磨光。可以采用其他方法拟合得到函数，对于不光滑的点采用一次或多次磨光，得到更加光滑连续的函数。这种方法常用于外形设计。最小二乘法也是函数逼近的一种基本方法。该方法不要求拟合曲线通过已知点，而是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。其解题步骤是：首先通过数据点，确定其可能所属的函数类型；然后，设出函数，并求出误差平方和的表达式；之后，由表达式对函数中已知系数的偏微分为零，得到方程组，最后，对方程组进行求解得到表达式。通过比较不同类型函数的误差和，选择误差和最小的函数表达式为其最优表达式。这种方法计算量很大，但是，在计算机中能够较好实现，是计算机化后，被广泛应用的一种拟合方法。在曲线拟合的这几种方法中，插值法是一种基础的拟合方法，是很多数据处理和编制函数表的常用工具，是许多求解公式的基础。磨光法是改变函数光滑度的方法，用于得到更光滑的函数。最小二乘法是一种不强求经过已知点的近似方法，在计算机计算和实际中应用广泛。由于科学实验和生产实践中取得的节点处的值不可避免地带有测量误差，因此，如果要求拟合曲线精确无误地通过所有点，就是使曲线保留了一切测量误差，而测量得到的数据较多时，采用插值法势必得到次数较高的插值多项式，这会加大计算量，缺乏实用价值。而采用曲线拟合的方法，可以巧妙地避开这些弊端，得到一条使数据点在曲线附件分布的函数，这个函数既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大波动，同时，也可以反映被逼近函数的特征，使其误差的平方和最小。随着如今计算机的发展，最小二乘法的曲线拟合早已实现了软件计算，这大大减少了我们的计算量，能够更好地选择所需函数。同时，由于测量中不可能都是等间距误差，因此，计算时，可以采用加权最小二乘法，对精度高、地位重的数据给予更大的权重，来得到更实用的拟合曲线。总之，三种曲线拟合的方法都有它们的特点和侧重，而在科学研究和生产实践中，采用最小二乘法对测量所得的已知点进行拟合，是一种更方便实用的方法。