分段函数的应用题

分段函数的应用题8．某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地，试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数．解答：s＝52t，260，260＋(t－6.5)65，0t≤5，5t6.5，6.5≤t≤10.5.4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐需付费用为f(x)元，由题意可得：令f(x)＝22.6，解得x＝9.,答案：99．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得5a1＝205a1＋15(a1－a2)＝35，得a1＝4a2＝3，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤953，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤953)．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤953)12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)(1)写出g(x)，h(x)的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g(x)＝20003x(0x216，x∈N*)，h(x)＝1000216－x(0x216，x∈N*)．(2)f(x)＝20003x(0x≤86，x∈N*).1000216－x(87≤x216，x∈N*).(3)分别为86、130或87、129.10.在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y，求函数y＝f(x)及其定义域．解：如题图，当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，y＝12×4×x＝2x；当P点在线段CD上，即4x≤8时，y＝12×4×4＝8；当P点在线段DA上，即8x≤12时，y＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴y＝f(x)＝2x，0≤x≤4，8，4x≤8，24－2x，8x≤12，且f(x)的定义域是[0,12]．11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0x≤4时，S＝f(x)＝12×4×x＝2x；当4x≤8时，S＝f(x)＝12×4×4＝8；当8x12时，S＝f(x)＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴函数解析式为f(x)＝2x，x∈0，4]，8，x∈4，8]，24－2x，x∈8，12.(2)图象如图所示．从图象可以看出f(x)max＝8.12．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，对应关系f：x→y＝px＋q，已知m，n∈N*,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p，q，m，n的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组p＋q＝4，2p＋q＝7，解得p＝3，q＝1.故对应关系为f：x→y＝3x＋1.由此判断A中元素3对应的元素要么是n4，要么是n2＋3n.若n4＝10，则n∈N*不成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝－5(舍去)或n＝2.因为集合A中的元素m对应的元素只能是n4，等于16，所以3m＋1＝16，所以m＝5.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.11.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是.解析:设总利润为L(x),则L(x)=则L(x)=当0≤x300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.答案:20013.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.方案二:不收管理费,每度0.58元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,当x30时,L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,所以L(x)=(注:x也可不取0)(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.当x30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.所以老王家该月用电60度.(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.当0≤x≤30时,由L(x)F(x),得2+0.5x0.58x,所以x25,所以25x≤30.当x30时,由L(x)F(x),得0.6x-10.58x,所以x50,所以30x50.综上,25x50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.3.如图所示，动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过顶点B，C，D再回到A.设x表示P点的路程，y表示PA的长度，求y关于x的函数关系式．解：当P点从A运动到B时，PA＝x；当P点从B运动到C时，PA＝AB2＋BP2＝12＋（x－1）2＝x2－2x＋2；当P点从C运动到D时，PA＝AD2＋DP2＝12＋（3－x）2＝x2－6x＋10；当P点从D运动到A时，PA＝4－x.故y＝x，0≤x≤1，x2－2x＋2，1x≤2，x2－6x＋10，2x≤3，4－x，3x≤4.甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶.(1)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图象；（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A、B两地），试确定乙车行驶速度v的取值范围.解析：（1）x=.5.54,100)4(150,42,150,20,75ttttt它的图象如图所示.(2)由已知,乙车离开A地的路程x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x=vt(0≤t≤v300),其图象是一条线段.由图象知，当此线段经过（4，150）时，v=275(km/h);当此线段经过点（5.5,300）时，v=11600(km/h).∴当275v11600时，两车在途中相遇两次.梳理1.分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量x的________________，有着______的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是________．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．