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特殊四边形与动点问题类型之一：平行四边形与动点1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明解：猜想：AE＝CF，AE∥CF，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.2．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC＝4cm，点P从点C出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点A同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)从运动开始，经过多长时间，四边形OCPQ是平行四边形？(2)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为矩形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．(3)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．解：(1)设从运动开始，经过xs，四边形OCPQ是平行四边形，则OQ＝CP，即10－3x＝x，解得x＝2.5，即从运动开始，经过2.5s，四边形OCPQ是平行四边形．(2)四边形OCPQ不可能成为矩形．理由：若四边形OCPQ能成为矩形，则四边形OCPQ的每一个内角均为90°，而已知∠COA＝60°，所以四边形OCPQ不可能成为矩形．(3)四边形OCPQ不可能成为菱形．理由：若四边形OCPQ成为菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm.∵OA＝10cm，∴AQ＝10－4＝6(cm)，则点Q运动的时间为6÷3＝2(s)，这时CP＝2×1＝2(cm)，∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不可能成为菱形．类型之二：矩形与动点3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB边的中点，E为OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．点E的坐标为(1，0)类型之三：菱形与动点4．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连结AC.∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．5．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于D，E两点．(1)点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A，D，F，E为顶点的四边形是怎样的特殊四边形？(3)若∠MON＝45°，猜想线段AC，AD，OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可，不用证明．解：(1)AE＝AD.理由如下：∵AB⊥ON，AC⊥OM，∴∠AED＝90°－∠MOP，∠ADE＝∠ODB＝90°－∠NOP.∵OP平分∠MON，∠MOP＝∠NOP，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE.(2)以A，D，F，E为顶点的四边形是菱形．说明：连结DF，EF，∵点F与点A关于直线OP对称，点E，D在OP上，∴AE＝FE，AD＝FD.由(1)得AE＝AD，∴AE＝FE＝AD＝FD，∴四边形ADFE是菱形．(3)OC＝AC＋AD.证明：∵四边形ADFE是菱形，∴∠AEO＝∠FEO.∵∠AOE＝∠FOE，∴∠EFO＝∠EAO＝90°，∴EF⊥OC，∴∠EFO＝90°.∵∠AEO＝∠FEO，OA⊥EA，OF⊥EF，∴OA＝OF.∵∠MON＝45°，∴∠ACO＝∠AOC＝45°，∴OA＝AC，∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴OC＝OF＋FC＝OA＋AE＝AC＋AD.类型之四：正方形与动点6．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形，∴∠AOB＝90°，∠A′OC′＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBC，∴∠AOB－∠BOM＝∠A′OC′－∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∴△AOM≌△BON，∴无论怎样旋转，S四边形MONB＝S△BON＋S△BOM＝S△AOM＋S△BOM＝S正方形ABCD.7．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且AE⊥EF，BE＝2，延长EF交正方形中∠BCD的外角平分线CP于点P.(1)试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；(2)在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．解：(1)在AB上取一点G，使BG＝BE，连结GE.∴AG＝EC，∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°.∵CP是∠BCD的外角平分线，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AGE＝∠ECP.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AGE≌△ECP，∴AE＝EP.(2)存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时点M使得四边形DMEP是平行四边形．证明如下：∵DM⊥AE，∴∠ADM＝90°－∠DAE.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°－∠DAE，∴∠BAE＝∠ADM，∴△BAE≌△ADM，∴AE＝DM.由(1)知AE＝EP，∴DM＝EP.∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP，∴四边形DMEP是平行四边形．