高中数学解不等式方法+练习

不等式要求层次重难点一元二次不等式C解一元二次不等式（一）知识内容1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a为例）：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．（二）主要方法判别式24bac000二次函数2yaxbxc(0)a的图象一元二次方程20axbxc(0)a的根有两相异实根12,xx242bbaca12()xx有两相等实根122bxxa没有实根一元二次不等式的解集20axbxc(0)a1xxx或2xxRxx，且2bxa实数集R20axbxc(0)a12xxxx例题精讲高考要求板块一：解一元二次不等式解不等式1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20axbxc或20(0)axbxca的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．（三）典例分析：1.二次不等式与分式不等式求解【例1】不等式112xx的解集是．【变式】不等式2230xx≤的解集为（）A．{|31}xxx或≥≤B．{|13}xx≤≤C．{|31}xx≤≤D．{|31}xxx或≤≥【变式】不等式252(1)xx≥的解集是（）A．132，B．132，C．11132，，D．11132，，2.含绝对值的不等式问题【例2】已知nN，则不等式220.011nn的解集为（）A．|199nnnN≥，B．|200nnnN≥，C．|201nnnN≥，D．|202nnnN≥，【例3】不等式111xx的解集为（）A．|01|1xxxxB．|01xxC．|10xxD．|0xx【变式】关于x的不等式2121xxaa≤的解集为空集，则实数a的取值范围是_．【例4】若不等式121xax≥对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是_________．【例5】若不等式34xb的解集中的整数有且仅有123，，，则b的取值范围为．3.含参数不等式问题【例6】若关于x的不等式22840xxa在14x内有解，则实数a的取值范围是（）A．4aB．4aC．12aD．12a【变式】⑴已知0a，则不等式22230xaxa的解集为.⑵若不等式897x和不等式220axbx的解集相同，则ab______．【例7】若不等式220axx的解集为R，则a的范围是（）A．0aB．18aC．18aD．0a【例8】若关于x的不等式0axb的解集是(1)，，则关于x的不等式02axbx的解集为（）A．12，，B．(12)，C．(12)，D．12，，【例9】01ba，若关于x的不等式22()()xbax的解集中的整数恰有3个，则（）A．10aB．01aC．13aD．36a【例10】⑴要使满足关于x的不等式2290xxa(解集非空)的每一个x至少满足不等式2430xx和2680xx中的一个，则实数a的取值范围是；⑵已知不等式20axbxc的解集是|xx，其中1，则不等式220aaxbxccxbxa的解集是．4.解不等式与分类讨论【例11】设mR，解关于x的不等式22230mxmx．【变式】解关于x的不等式3110()mxxmR．【点评】解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.【例12】求不等式22(1)40axax的解集．【例13】解关于x的不等式(1)1(1)2axax【变式】解关于x的不等式223()0xaaxa．【例14】解不等式21410mxx≤.【点评】对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式0的零点，分类进行讨论.5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，【例15】关于x的方程2210axx至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）A．a≥0B．10a≤≤C．0a或10aD．1a≥【例16】已知关于x的方程2(3)4210mxmxm的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是（）A．30mB．03mC．3m或0mD．0m或3m【例17】有如下几个命题：①如果1x，2x是方程20axbxc的两个实根且12xx，那么不等式20axbxc的解集为12{|}xxxx；②当240bac时，二次不等式20axbxc的解集为；③0xaxb≤与不等式()()0xaxb≤的解集相同；④2231xxx与223(1)xxx的解集相同．其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．0【例18】若关于x的方程9(4)340xxa有解，求实数a的取值范围.【例19】已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是．6.恒成立问题【例20】若不等式2(2)2(2)40axax对xR恒成立，则a的取值范围是______．【变式】2()1fxaxax在R上恒满足()0fx，则a的取值范围是（）A．0a≤B．4aC．40aD．40a≤【变式】若对于xR，不等式2230mxmx恒成立，求实数m的取值范围．【点评】对于有关二次不等式20axbxc（或0）的问题，可设函数2()fxaxbxc，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点，由判别式进行解决．【例21】⑴不等式210xax≥对一切102x，成立，则a的最小值为（）A．0B．2C．52D．3⑵不等式2|3||1|3xxaa≤对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．14，，B．25，，C．[12]，D．12，，【变式】对任意[11]a，，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零，则x的取值范围为_________．【例22】若不等式lg21lg()axax在[1,2]x时恒成立，试求a的取值范围．【点评】将参数a从不等式lg21lg()axax中分离出来是解决问题的关键．【例23】若1x，，21390xxaa恒成立，求实数a的取值范围.【例24】设222fxxax，当1x，时，都有fxa≥恒成立，求a的取值范围.【例25】设对所有实数x，不等式2222224112log2loglog014aaaxxaaa恒成立，求a的取值范围.【例26】已知不等式22412axxxa≥对任意实数恒成立，求实数a的取值范围．【例27】已知关于x的不等式20xxt对xR恒成立，则t的取值范围是．【例28】如果|1||9|xxa对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（）A．{|8}aaB．{|8}aaC．{|8}aa≥D．{|8}aa≤【例29】在R上定义运算：)1(yxyx．若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（）A．11aB．20aC．2321aD．2123a【例30】设不等式2220xaxa≤的解集为M，如果[1,4]M，求实数a的取值范围．【点评】若将本题改为：[1,4]M，求a的取值范围，则本题等价于：当[1,4]x时，2220xaxa≤恒成立，求a的取值范围．可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将a解出，通过求出对应的代数式的取值范围解决此问题．仅用第二种方法略解如下：2222(12)20xaxaxax≤，故2(21)2xax≥，∵[1,4]x，∴2110x≥，从而要满足题意，只需2221xax≥，对[1,4]x恒成立即可．故要求2221xx在[1,4]x时的最大值，令21[1,7]tx，则2221(1)22291194()21424txtttxttt，由对勾函数的单调性知：上式在1t或7t时取到最大值．比较知：当1t时，上式有最大值3，故当3a≥时，有2220xaxa≤对[1,4]x恒成立．即a的取值范围为[3,)．板块二：解不等式综合问题（一）典例分析：1.利用函数单调性解不等式【例31】解不等式：21log(6)2xxx．【变式】解关于x的不等式：23log(34)0xxx．2.解不等式与函数综合问题【例32】已知函数32()()fxxaxbabR，⑴若函数()fx图象上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a；⑵若01x，，函数()yfx图象上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k≤的充要条件．【备注】为了缩小讨论范围，本题可以一开始将1x代入2321xax≤中，解得12a≤≤，再进行讨论．本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解，配图略．【例33】⑴求函数22()123lg(1521)fxxxxx的定义域．⑵(福建省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)如果关于x的不等式23208kxkx对一切实数x都成立，则k的取值范围是．⑶(福建省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)设()321fxaxa，若存在0(1,1)x，使0()0fx，则实数a的取值范围是（）A．115aB．1a或15aC．1aD．15a【例34】已知函数2()1(1)fxxgxx，若不等式(3)(392)0xxxfmf对任意xR恒成立，求实数m的取值范围．【例35】已知不等式11112log1122123aannn对于一切大于1的自然数n都成立，试求实数a的取值范围.【例36】已知二次函数2()fxaxx，如果[0,1]x时|()|1fx≤，求实数a的取值范围．【点评】在闭区间[0,1]上使|()|1fx≤分离出a，然后讨论关于1x的二次函数在[1,)上的单调性．【例37】设二次函数20fxaxbxcabcaR，，，满足条件：⑴当xR时，42fxfx，且fxx≥；⑵当02x，时，212xfx≤⑶fx在R上的最小值为0.求最大的1mm，使得存在tR，只要1xm，，就有fxtx≤.【点评】本题所用方法为先根据已知条件求出m小于某个数，再验证m是否可取到此值，若能取到，则此值为m的最大值．【例38】设a为实数，函数22fxxxaxa．⑴若01f≥，求a的取值范围；⑵求fx的最小值．【变式】设函数hxfxxa，，，直接写出．．．．（不需给出演算步骤）不等式1hx≥的解集．【备注】本题是江苏卷的文理科必做题的最后一题，江苏文理不分卷，但根据学生的不同有些学生另有选做题，包括选考内容与排