中考二次函数的实际应用题分析

2015年安徽中考数学试卷依据《课程标准》，延续了前两年平稳的特点，风格稳健、题量稳定、贴近生活、难易适中。充分体现了“以稳为主，稳中求变”的命题指导思想。坚持面向全体学生，注重在运用中考查四基（基础知识、基本技能、基本方法、基本活动经验），通过创设新的情境来考查四基，利用数学思维方法和数学语言来考查四基等。整套试卷中“数与代数”共13题79分，约占53%，主要涉及第1、2、3、5、6、10、11、13、14、15、16、21、22题；“空间与图形”共8题57分，约占38%，主要涉及第4、8、9、12、17、18、20、23题；“统计与概率”共2题14分，约占9%，涉及7、19题。考点知识覆盖面十分契合2015年安徽数学中考考试纲要的要求。安徽中考2015年二次函数的实际应用题和2010年的背景相同，都是水产养殖。通过分析可以发现，二次函数的实际应用在近8年几乎是必考题，有时作为压轴题出现，分值为10~14分。在解答题中大都以实际生活为背景考查单独的实际应用，或一次、二次函数、分段函数相结合的实际应用，或一次、反比例、二次函数相结合的实际应用。预计2016年在解答题中还会考查二次函数的实际应用或综合应用。下面对八年来，安徽中考二次函数的实际应用做简单的分析。时间题号知识点分值200821二次函数的最值12200923分段函数、一次函数、二次函数的最值14201022二次函数的单调性，最值10201123平行线性质、勾股定理、三角形全等的判定、面积计算、二次函数的应用等14201223二次函数及其应用、范围问题14201322分段函数、一次函数、反比例函数、二次函数的应用；及最值问题12201422二次函数的解析式，有条件的二次函数的最值12201522列代数式，二次函数的最值。.12第21题图（2008•安徽12分）21.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图：（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。考点：二次函数的应用。专题：应用题分析：将实际问题转化为求函数值，及函数最大值问题。比较简单。（2008•安徽14分）23·刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。点评：此题不是二次函数的应用题，从表面上看是一元一次方程和一元二次方程应用题，实际上是一个分段函数问题，解决整个问题关键是找清楚塌方前和塌方后时间与路程之间的关系，只是中间有“在塌方处是否停留”作为分类的标准提高了难度。特别是在第3问中让大家选择图像时，可以说命题人要考查分段函数意图得到了充分的体现。本题难度相对较大，综合性较强，重点考查学生对所学数学知识的综合运用，并用方程、分类讨论等重要的数学思想和方法，它为09年考察分段函数与二次函数应用题埋下了伏笔。（2009•安徽14分）23．已知某种水果批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．O60204批发单价（元）5批发量（kg）①②第23题图（1）O6240日最高销量（kg）80零售价（元）第23题图（2）48（6，80）（7，40）金额w（元）O批发量m（kg）302010204060点评：如果说08年的中考压轴题中分段函数是隐藏在里面，那么09年的二次函数应用压轴题对分段函数进行了最全面的考查。由图像得出解析式然后再由解析式画图像，函数的思想、数形结合的思想体现的非常明显。在解分段函数时首先要注意自变量的取值范围，哪些是包含的哪些是不包含的要看清楚。其次分段函数的关系式的书写要有规范，如，分段函数题是08，09年安徽省中考题的热点，它也是与高中知识联系最紧密的知识点。20606054mmwmm≤≤（））＞（（2010•安徽10分）22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）试说明⑵中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天取得最大值，最大值是多少？201x点评：此题考查二次函数的性质及其应用，要运用图表中的信息，将实际问题转化为求函数最值问题，从而解决实际问题。因为09年的中考题比较难，所以10年的中考题从总体难度上要小一些，二次函数的应用题难度也降低了。解答：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；（2）由题意，得y=（15+)（950﹣10x）=﹣2x2+40x+14250（3）∵﹣2＜0，y=﹣2x2+40x+14250=﹣2（x﹣10）2+14450，又∵1≤x≤20且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．y=（15+）（950﹣10x）=-（x+75）（2x-190）∵﹣2＜0，对称轴x=10∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450（2011•安徽14分）23.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）.(1)求证h1=h3；(2)设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h2+h1）2＋h12(3)若当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况12312hh考点：平行线性质、勾股定理、三角形全等的判定、二次函数的应用、面积计算等。点评：本题是2011年中考数学压轴题，其解法是多样的。从不同角度对学生进行考查，是一道二次函数的综合应用题。全面考查了学生分析、思考、阅读、理解等综合能力，题型不复杂，但所涉及的知识面广。第（3）还考查了二次函数的性质（增减性），同时对学生思维的严密性有较高的要求，学生得高分比较困难，属于较难题。（2012•安徽14分）23．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．点评：此题是中考压轴题，主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围，对学生的运算能力有较高要求。第（3）题解法多样，对学生的思维深度和广度的考查较全面，梯度明显，区分度较强，起到了压轴的作用。此题入手容易，做全对不易。（2013•安徽12分）22．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？销售量p（件）P=50—x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+x；当21≤x≤40时，q=20+x525点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握分段函数的表示．二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值的求法。（2014•安徽12分）22．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1）若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值。点评：所谓新定义试题是指在试题中出现新的概念，让学生通过认识新的概念，分析概念从而去解决问题的试题。可以这么说，新定义试题的出现首先来源于安徽省中考，03年的安徽中考就已经出现了。同时本题又考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化。考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），以及分类讨论的思想，考查了阅读理解能力。对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键。（2015•安徽,第22题12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？点评：本题考查二次函数的实际应用，难度不大。能够通过题意列代数式，找到y与x之间的函数关系式是解本题的关键。中考预测题1·大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店。该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件。为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？点评：此题背景是当下比较流行的自主创业，又是学生比较熟悉的二次函数应用题。它源于课本，略高于课本。主要考查二次函数的解析式（用分段函数表示）及其应用，用配方法求二次函数最值等知识。利用函数图象得出x的取值范围是解第三题的关键,它体现了数形结合的思想。解：（1）由题意可得：y=（2）由题意可得：w=即w=当销售价格为65元时，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，6000=﹣20（x+）2+6125解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．2·如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+