实变函数期末试题

2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题一、填空：（共10分）1．如果则称E是自密集，如果则称E是开集，如果EE则称E是，EEE称为E的.2．设集合G可表示为一列开集}{iG之交集：1iiGG，则G称为.若集合F可表示为一列闭集}{iF之并集：1iiFF，则F称为.3．（Fatou引理）设}{nf是可测集qRE上一列非负可测函数，则.4．设)(xf为],[ba上的有限函数，如果对于],[ba的一切分划bxxxaTn10:，使niiixfxf11|)()(|成一有界数集，则称)(xf为],[ba上的，并称这个数集的上确界为)(xf在],[ba上的，记为.二、选择填空：（每题4分，共20分）1．下列命题或表达式正确的是A．}{bbB．2}2{C．对于任意集合BA,，有BA或ABD．2．下列命题不正确的是A．若点集A是无界集，则Am*B．若点集E是有界集，则Em*C．可数点集的外测度为零D．康托集P的测度为零3．下列表达式正确的是}0),(max{)(xfxfB．)()()(xfxfxf)()(|)(|xfxfxfD．}),(min{)]([nxfxfn4．下列命题不正确的是A．开集、闭集都是可测集B．可测集都是Borel集C．外测度为零的集是可测集D．F型集，G型集都是可测集5．下列集合基数为a（可数集）的是A．康托集PB．)1,0(C．设innxxxxxARA|),,,({,21是整数，},,2,1niD．区间)1,0(中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设RE，)(xf是E上..ea有限的可测函数，证明：存在定义在R上的一列连续函数}{ng，使得..)()(limeaxfxgnn于E五、（10分）证明01sin)(limsin22200710dxexnnxnxRnxn六、（10分）设)(xf是满足Lipschitz条件的函数，且..0)(eaxf于],[ba，则)(xf为增函数七、（10分）设f是],[ba上的有界变差函数，证明2f也是],[ba上的有界变差函数2006—2007学年第二学期04本实变函数期末试题A类评分标准一、填空题：（共10分）1、EE,0EE（或0EE）闭集，闭包2、G型集，F型集3、dxxfdxxfnEnnnE)(lim)(lim4、有界变差函数，全变差，)(fVba二、选择填空：（每小题4分，共20分）1、D2、A3、D4、B5、C三、（20分）定理：设..)(eaxf有限于E，若对于任意的0，总有闭集EF，使)(FEm，且)(xf在F上连续，则f是E上的可测函数.（5分）证对任意的正整数n，存在闭集EFn使nFEmn1)(，且f在nF上连续，从而f在nF上可测（5分）设1kkFF，则F是可测集，且,2,1,nFEFEn，于是,2,1,1)()(nnFEmFEmnfFEm0)(在FE上可测（5分）由于FFEE)(，只须证f在F上可测，事实上，对任意的Ra，][][1afFafFnn][afF是可测集f在F上可测f在E上可测（5分）四、（20分）证明f在E上可测，由Lusin定理，对任何正整数n，存在E的可测子集nE，使得nEEmn1)(，同时存在定义在R上的连续函数)(xn，使得当nEx时有)()(xfxn（7分）所以对任意的0，成立nnEEfE]|[|，,2,1n（3分）,2,1,1)(]|[|nnEEmfmEnn0]|[|limnnfmE因此fn（5分）由F.Riesz定理，存在}{n的子列}{kn，使..)()(limeaxfxknk于E，记)()(xgxknk，则..)()(lim)(limeaxfxgxgkknn于E（5分）五、（10分）证明设nxnexnnxnxxfsin2220071sin)(则)(xfn在]1,0[上连续，因而R可积L可积，且01sinlim)(limsin222007nxnnnexnnxnxxf]1,0[x（5分）取exF21)(，则)(|)(|xFxfn，而1])1,0([m由Lebesgue有界收敛定理0)()()(lim)()(lim]1,0[]1,0[10dxldxxfLdxxfRnnnn（5分）六、（10分）证因为f满足Lipschitz条件，所以f是绝对连续函数，对任意的2121],,[,xxbaxx，由牛顿—莱布尼兹公式dxfafxfxa1)()(1（1）dxfafxfxa2)()(2（2）（5分）（2）—（1）0)()(2112dxfxfxfxx)()(12xfxf)(xf是],[ba上的单调函数（5分）七、（10分）证f是有界变差函数，因而是有界函数，于是mf||，],[bax（3分）对],[ba的任意分划bxxxaTn10:有niiixfxf1122|)()(||)()(||)()(|111iiniiixfxfxfxfniiixfxfM11|)()(|2)(2fVMba（5分）因此2f也是],[ba上的有界变差函数（2分）