数值分析期末复习资料-福大研究生版

数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。2、两点理解：（1）四舍五入的一定是有效数字（2）绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.3、定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、避免误差危害原则1、原则：（1）避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2=c/a）（2）避免相近数相减（方法：有理化）eg.或（3）减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、数值运算的误差估计1、公式：（1）一元函数：|ε*(f(x*))||f’(x*)|·|ε*(x)|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f(x*)）eg.P19习题1、2、5（2）多元函数（P8）eg.P8例4，P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜…＜xn≤b的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式（P26（2.8））2、插值多项式表达式（P26（2.9））3、插值余项（P26（2.12））：用于误差估计*(1)11102nra;xεxεxεx;1lnlnlnxεxεxxcos12sin22xniyxPiin,,2,1,0)(4、插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、差商（均差）及牛顿插值多项式1、差商性质（P30）：（1）可表示为函数值的线性组合（2）差商的对称性：差商与节点的排列次序无关（3）均差与导数的关系（P31（3.5））2、均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（不用背公式）两种解法：（1）用定义做：设P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2）牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14五、三次样条插值定义（1）分段函数，每段都是三次多项式（2）在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）（3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定i，解法方程组，列方程组求系数（注意i应与系数一一对应）eg.P95习题17njyxSjj,,1,0,)(形如y=aebx解题步骤：（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章数值积分与数值微分一、代数精度1、概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度2、计算方法：将f(x)=1,x,x2,…xn代入式子求解eg.P100例1二、插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。三、牛顿-科特斯公式1、掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性2、定理：当阶n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度3、复合梯形公式（P106）及余项（P107）4、复合辛普森公式及余项（P107）四、高斯型求积公式1、定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk为高斯点。第五章解线性方程组的直接方法一、LU分解1、特点：L对角线均为1，第一列等于A的第一列除以a11；U的第一行等于A的第一行2、LU分解唯一性：A的顺序主子式Di≠0二、平方根法例题：用平方根法解对称正定方程组解：先分解系数矩阵A91096858137576321xxx三、范数1、向量范数定义及常用范数2、矩阵范数定义及常用范数3、条件数4、谱半径（非常重要）可用于填空题计算以及大题证明题中判断收敛第六章解线性方程组的迭代法一、雅克比和高斯-赛德尔迭代法用向量法二、迭代收敛性判断迭代法收敛的两种判断方法：1、严格对角占优2、谱半径小于1（谱半径越小，收敛速度越快）三、SOR法1、计算公式（P194）2、SOR迭代法收敛的必要条件：SOR迭代收敛，则0〈W〈2。3、SOR迭代法收敛的充要条件：A为对称正定矩阵且0〈W〈2，则SOR收敛。第七章非线性方程与方程组的数值解法一、二分法1、优缺点：算法简单且总是收敛，但收敛慢。2、公式＜ε可能考点：已知ε、b、a，求n二、不动点迭代及收敛性1、形式：xk+1=(xk)(k=0,1,2,)（由f(x)=0移项得）x*=(x*)为(x)的不动点2、定理1（不动点存在唯一性或整体收敛）：设(x)∈C[a,b]满足以下两个条件：1º对任意x∈[a,b]有a≤(x)≤b.2º存在正数L1，使对任意x,y∈[a,b]都有则(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*。3、定理2：设(x)∈C[a,b]满足定理1中的两个条件，有误差估计式4、定理3（局部收敛）：设x*为(x)的不动点，在x*的某个邻域连续，且，则迭代法xk+1=(xk)局部收敛.做法：不动点x*不知道，用x*附近的x0代替（题目已知“根附近x0”，代入x0证明，则迭代法局部收敛）)(x1)(x1)(x111*()()22nnnnxxbabayxLyx)()(.1或.1101kkkkkxxLLxxxxLLxx5、定理4（收敛阶的定义及判定定理）：对于迭代过程，如果在所求根x*的邻近连续，并且则该迭代过程在x*的邻近是p阶收敛的.三、牛顿迭代法（切线法）及应用（大小题都可考）1、公式：2、收敛性：x*为单根时，牛顿迭代法在根x*的邻近是二阶(平方)收敛；x*为重根时，仅为线性收敛。3、应用：用牛顿法求解法：令f(x)=x2-c，代入公式求解。Eg.P239习题13第八章矩阵特征值计算一、格什戈林圆盘掌握λ范围即可。Eg.P243例1二、幂法1、计算公式：则有eg.P248例2三、豪斯霍尔德变换（初等反射矩阵）1、定义2、约化定理（P255）eg.P260例7考点：用初等反射矩阵将A进行QR分解或转化为上海森伯格矩阵（思想相同，不同之处上海森伯格矩阵对角线下还有一列）四、吉文斯变换（平面旋转变换）思想：将每列aii以下的元素一个一个变为0.Eg.P257C,)max(lim11xxukk.lim1kk.0)(,0)()()()()1(xxxxpp),1,0()()(1kxfxfxxkkkk向量的规范化.),2,1(,max,,0100kkkkkkk/vukvAuvuv第九章常微分方程初值问题数值解法一、欧拉公式1、公式：eg.P317习题4二、梯形公式1、公式：考法：用移项做，将右式中的yn+1移到左边，求出yn+1的表达式，再将各节点代入求解yieg.P317习题3三、改进的欧拉方法（二阶R-K公式）1、公式：Eg.P316习题2四、局部截断误差1、定义：Tn+1=y(xn+1)-yn+1=O(h(p+1)).——p阶精度注意点：要求局部截断误差主项时还应多写一项；泰勒展开eg.P317-318习题6、7、11、12预测考题：一、填空1、有效数字计算2、避免误差危害原则3、误差估计4、插值条件定义：求n次插值多项式5、插值基函数性质6、差商的对称性7、三次样条插值定义：求系数8、根据代数精确度定义求解等式右边的系数或求解代数精确度9、向量或矩阵范数、条件数计算10、二分法：求n,),(1nnnnyxhfyy.)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy),(1nnnnyxhfyy),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy二、判断1、插值条件定理（条件缺一不可）。Eg.对给定的数据做插值，插值函数个数可以有许多。（√）2、给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。（×）3、代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。（×）4、求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。（×）5、梯形公式与两点高斯公式的精度一样。（×）6、SOR迭代法收敛，则松弛参数0〈W〈2。（√）7、A对称正定则SOR迭代一定收敛。（×）8、只要矩阵是对称的，则1AA。（√）9、x*为单根时，牛顿迭代法是二阶收敛的，x*为重根时，是线性收敛的。所以牛顿迭代法总是收敛的。（×）10、一定收敛。（×）或≥1一定发散。（√）11、|1+hλ|≤1为欧拉法的绝对稳定域，hλ越大越稳定。（√）三、计算1、牛顿插值多项式计算2、最小二乘拟合3、复合梯形公式及余项或复合辛普森公式及余项考一题4、利用LU解方程组5、代数精确度：求等式右边系数、代数精确度m、余项6、利用初等反射矩阵或吉文斯变换进行QR分解7、用梯形公式或改进的欧拉公式求解初值问题四、证明1、用雅克比和高斯-赛德尔迭代法证明收敛性（借助谱半径求解）eg.P209习题3、5、62、不动点迭代（应用定理4）可能考题：证明某个迭代式子至少3阶收敛解法：计算1阶、2阶导数为0，无需证明3阶不为0（如果题目是“证明某个迭代式子是3阶收敛”，则需证明3阶不为0）eg.P239习题153、局部阶段误差可能考题：给定yn+1的式子，求式子中的系数及局部阶段误差主项，并说明是几阶解法：利用局部截断误差的定义并借助泰勒展开1)(x)(x