常微分方程复习ppt

复习迎考一、基本概念1.微分方程及其分类微分方程按未知函数为一元函数或多元函数分为常微分方程和偏微分方程.微分方程按阶分为一阶微分方程和高阶微分方程.微分方程按一次和高次分为线性微分方程和非线性微分方程.本书主要研究常微分方程，通常也将常微分方程简称为微分方程.2.微分方程的解、通解，定解条件（初始条件和边界条件），定解问题（初值问题和边值问题）特解，积分曲线（族）及方向场.3.一阶微分方程的可积类型（见图p.71图2.7）（1）变量分离方程)()(yxfdxdy)(xygdxdy（2）齐次方程)()(xQyxpdxdy(3)线性方程（4）伯努利(Bernouli)方程)1,0()()(nyxQyxpdxdyn（5）黎卡提（Riccati)方程0)(),(),(),()()(2xQxRxQxRyxQyxpdxdy(6)对称形式的一阶微分方程0),(),(dyyxNdxyxM0),(),(dyyxNdxyxM).(xQyPxNyM恰当方程的判别准则：,),(),(),(),,(:)(.10dyyxNdxyxMyxduyxu二元函数全微分方程恰当方程.)()(),,(.20xNyMyx函数二元，积分因子：非恰当方程，可恰当化函数仅为条件是有关的积分因子的充要存在仅与xxNyxa)M(..)()yM.的函数仅为（条件是有关的积分因子的充要存在仅与yMxNyb).1ln(:.0),(,0),(),,(),,()7(2yyyyFyxFyxfyyyfx如解最后一种情形要防止漏方程导数未解出的一阶隐式.||,|:|),(,)(),,(.40000byyaxxRyxyxyyxfdxdy题一阶微分方程的初值问.10初值解的存在唯一性|||),(),(|,0:)(221210yyLyxfyxfLLipschitz条件利普希茨.]1,1[,3]1[),(),(:)(30条件满足中关于在如验证样的条件来替代，的偏导数存在且有界这关于通常用条件的检验利普希茨schitzLipyxeyxfyyxfLipschitzy.|),(|max},,min{,||)(4),(00yxfMMbahhxxxyRyx其中的存在区间为解的局部存在性：解xxhxxdyfyy0.||,))(,(5000方程：与初值问题等价的积分.)!1(|)()(|),2,1())(,()()(61100000nnnxxnnhnMLxxnndfyxyx近似，误差估计式为次为为初始近似，初值解的逐次逼近：5.包络与奇解.奇解通常为通解曲线族的包络，通解曲线族的包络必定为奇解.包络的检验：沿着C-判别曲线有.022yx为任意常数，它的通解为方程关于克莱罗CCfxCydxdyfdxdyxyClairaut),(),(.,0)(,0))((为参数奇解为ppfxpfxpy与系数之间的关系微分方程还有如下的解线性构，基本解组，关于齐朗斯基行列式，通解结性无关、函数组的线性相关、线的线性组合仍为解）若干个解叠加原理齐次线性微分方程：高阶线性微分方程,(,0)()1()()()(.6)1(1)(tftfxtaxtaxnnn阶齐次线性微分方程为个函数为基本解组的则以这基行列式时，它们的朗斯当函数阶导数的上的具有个定义在设有定理nntWbattxtxtxnbann,0)(],[)(,),(),(],[210)()()()()()()()()()()()()()()(2)(11()1()1(2)1(12121nnnnnnnnnnnnxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtx,0)()()(1)1(1)(xtpxtpxtpxnnnn即,)(1)()()(1)(2)(1)1()1(1)1(2)1(11211211nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxtwtp.)()1()()()(1)(2)(1)1()1(1)1(2)1(1121121nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxtwtp其中叠加原理，通解结构非齐次线性微分方程,0)(:)2(tf.),(,0,0.7)1(1)(1)1(11)()1(1)(特殊方程的特解形式方程常系数非齐次线性微分本解组形式，欧拉方程特征方程，特征根，基程常系数齐次线性微分方tfxaxaxyayxayxayxxaxaxnnnnnnnnnnnn.3,0),,,(2),1(0),,,(1.80)(0)()(0方程阶变系数齐次线性微分个线性无关特解的已知阶方程：可降阶的三种类型的高nkxxxFnkxxtFnnk9.线性微分方程组的向量形式，化高阶线性微分方程为一阶线性微分方程组，向量函数与矩阵函数的连续性、可微性与可积性，向量与矩阵的范数及性质，向量与矩阵序列、向量与矩阵函数序列、向量与矩阵函数级数的收敛性和一致收敛性.10.齐次线性微分方程组的解的叠加原理，向量函数组的线性相关、线性无关及朗斯基行列式，通解结构，基本解组，解矩阵，基解矩阵，非齐次线性微分方程组，叠加原理.常系数线性微分方程组,矩阵指数expA,expAt,标准基解矩阵，特征值，特征向量，空间分解等.二、基本理论1.一阶微分方程、高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性定理.2.齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构定理，非齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构定理.三、基本计算2..1xyxydxdy如：的是防止漏解量分离方程，需要注意分离变量法：适用于变莱布尼兹）：适用于变量变换法Leibnitz(.2,2321yxyxdxdy）齐次方程，如：（,132)2(yxyxdxdy准齐次方程，如：.33yxydxdy）伯努利方程，如：（3.常数变易法(实际上也是一种变量变换法)，适用于,31xydxdy，如：）一阶非齐次线性方程（,sec232txxx，如：）高阶非齐次线性方程（,142513texx方程组，如：）一阶非齐次线性微分（,0)()()(1dyyxdxyx，如：全微分方程）恰当方程（.0)(22xxx）恰当导数方程，如：（4.分项组合凑微分法5.积分因子法.02xdyydx微分方程，如：对称形式的一阶非恰当6.参数表示法适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如1,122'2'2yyyxyyyxyyxysin)(,)(227.微分法适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如8.欧拉待定指数函数法（特征根法）适用于常系数齐线性方程，如034yyy9.待定系数法，适用于（1）具有特殊右端函数的常系数非齐线性微分方程xxeyyyxxyy2,cos如：.,,2,1,)(,)()()(~,:)2(1)()2()1(21nitttptptptpxAxxnAAxxjjnnijijijijnjjjjjj解：应有如下形状的特方程组重特征根的对应于程组常系数齐次线性微分方10.降阶法，适用于.01,,,)2()4()5()1(ytyyyyyk的方程，如：或更一般地不显含有不显含有未知函数.0)()1(2xxxt的方程，如：不显含有自变量.0)1()3(xtxtxn方程，如：阶变系数齐线性解的已知若干个线性无关特11.矩阵指数法，适用于常系数齐次线性微分方程组的解空间。的解的公式）（满足条件求0)(:,,))(!()(021110uEAUvvvvvEAitetAxxjjjnjjjkjijkjniitiniinEAitAteteAteAtAtAt)(!exp])A(exp,,)(exp,)[(expexpexp01021的公式：求