数学建模习题——线性规划

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此外还有以下限制：1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；3)所购证券的平均到期年限不超过5年．证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A、B、C、D、E五种类型的证券资金分别为12345,,,,xxxxx万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.04510004002251.4()9154325(),,,,0Mxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用MATLAB求解最优解，代码如下：c=[-0.043-0.027-0.025-0.022-0.045];A=[11111;0-1-1-10;0.60.6-0.4-0.43.6;410-1-2-3];b=[1000;-400;0;0];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545xxxxx因此，应投资A证券218.1818万元，B证券0万元，C证券736.3636万元，D证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。（2）设借到资金y万元，则由题设条件可知：12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0450.027510004002251.4()9154325(),,,,00100Mxxxxxxyxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy利用MATLAB求最优解，代码如下c=[-0.043-0.027-0.025-0.022-0.0450.0275];A=[11111-1;0-1-1-100;0.60.6-0.4-0.43.60;410-1-2-30;000001];b=[1000;-400;0;0;100];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：即12345240,0,810,0,50,100xxxxxy所以经理应借出100万元用于投资，应投资A证券240万元，B证券0万元，C证券810万元，D证券50万元，最大利润为30.07万元。（3）在1000万元资金的条件下：（Ⅰ）若证券A的税前收益增加为4.5%，根据MATLAB运行结果(运行结果与第（1）问的运行结果相同)可知所投资的各种证券值不变，所以投资不用改变。（Ⅱ）若证券C的税前收益减少为4.8%，MATLAB运行结果如下：即12345336,0,0,648,16xxxxx所以投资应该改变。