2015年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)

2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2015年4月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集ZU，},3|{},,2|{ZnnxxBZnnxxA，则BACU)(是（▲）A.},16|{ZnnxxB.},26|{ZnnxxC.},36|{ZnnxxD.},13|{Znnx2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（▲）A.6B.26C.10D.123.函数242xxy的值域是（▲）A.]4,0[B.]4,4[C.]2,2[D.]2,0[4．设,11)(xxxf记)()(1xfxf，若))(()(1xffxfnn，则)(2015xf（▲）A．xB.x1C.11xxD.xx115．化简)4tan()4(sin42cos2（▲）A.cosB.sinC.1D.216.已知a与b均为单位向量，其夹角为.若1||ba，则的取值范围为（▲）A.30B.23C.3D.37．设)0,21(x，以下三个数)1cos(),sin(cos),cos(sin321xxx的大小关系是（▲）A.123B.231C.213D.1328．若对任意的实数nm,，有)1(log)1(log232333nnmmnm成立，则有（▲）A.0nmB.0nmC.0nmD.0nm9．方程)4sin(log412xx的实根个数是（▲）A.62B.63C.64D.6510．设方程0133xx的三个实根是1x、2x、3x)(321xxx.则代数式)())((132323xxxxxx的值为（▲）A.2B.1C.1D.0二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy2log2的定义域为▲.12.若)(loglog)(loglog3993xx，则x▲.13.不等式06||52||23xxx的解集是▲.14.已知)(xf是偶函数，且)(xf在区间),0[上是增函数，若)2()1(xfaxf在区间]1,21[上恒成立，则实数a的取值范围是▲.15.定义区间],[21xx的长度为)(1212xxxx，已知函数)0,(1)()(22aRaxaxaaxf的定义域与值域都是)](,[mnnm，则区间],[nm取最大长度值为▲.16.若ABC的重心为G，4,3,2BCACAB，动点P满足GCzGByGAxGP（1,,0zyx），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于▲.17.已知函数||3)(2axxxf，若4])([2bxf对任意]1,1[x恒成立，则ba3的取值集合▲.三、解答题：本大题共3小题，共51分．18.（本题满分15分）已知函数)0(3cos32cossin2)(2xxxxf的最小正周期为.（Ⅰ）求函数)(xf的单调递增区间；（Ⅱ）将函数)(xf的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(xgy的图像.若)(xgy在)0](,0[bb上至少有20个零点，求b的最小值.19.（本题满分18分）已知O为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(OCaOBaOA.（I）当]0,4[a时，求||OCOBOA的取值范围；（II）若),(yxOP，记|}||,||,max{|PCPBPAM，当a取遍一切实数时，求M的最小值.20.（本题满分18分）已知函数),,()(2Rcbacbxaxxf，),,()(2Rfedfexdxxg.（I）当1a时，对任意实数x均有|132||)(|2xxxf，求函数)(xf的解析式；（II）若|)(|)(xgxf对任意实数x成立，求证：|4|422edfbac.2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2015年4月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知全集ZU，},3|{},,2|{ZnnxxBZnnxxA，则BACU)(是（C）A.},16|{ZnnxxB.},26|{ZnnxxC.},36|{ZnnxxD.},13|{Znnx解析：},36,16|{ZnnxnxxACU，},36,6|{ZxnxnxxB，则BACU)(=},36|{Znnxx，故答案选C.2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（A）A.6B.26C.10D.12解析：设扇形的半径为,r弧长为l.由题意：4221rllr，解得41lr，所以扇形的周长为62rl，故答案选A.3.函数242xxy的值域是（B）A.]4,0[B.]4,4[C.]2,2[D.]2,0[解析：函数242xxy是在]2,2[上的奇函数，只需考虑当]2,0[x时函数的取值范围，当]2,0[x时，]4,0[4)2(2422242xxxy，所以函数242xxy的值域为]4,4[，答案选.B4．设,11)(xxxf记)()(1xfxf，若))(()(1xffxfnn，则)(2015xf（D）A．xB.x1C.11xxD.xx11解析：xxxxxxxfxf1111111)11()(2，111111)1()(3xxxxxfxf，xxxxxxxfxf111111)11()(4，)(11)(15xfxxxf，依次类推可知：).()(4xfxfnn所以11)()(32015xxxfxf，故答案选.D5．化简)4tan()4(sin42cos2（D）A.cosB.sinC.1D.21解析：先考虑分母：tan1tan12)22cos(14)4tan()4(sin422cos2)sin(cos2sincossincos)2sin1(222，所以原式等于.216.已知a与b均为单位向量，其夹角为.若1||ba，则的取值范围为（C）A.30B.23C.3D.3解析：1||ba，两边平方可得：1222bbaa，因为a与b均为单位向量，则21cos，又因为],0[，则3，答案选C.7．设)0,21(x，以下三个数)1cos(),sin(cos),cos(sin321xxx的大小关系是（A）A.123B.231C.213D.132解析：法一：取特殊值41x，则22cos1，22sin2，223，4220，则123，答案选A.法二：当)0,21(x时，0,0,0321，)sin2sin(1x，此时xsin2与xcos都属于区间)2,0(，易知xxcossin2，则21.8．若对任意的实数nm,，有)1(log)1(log232333nnmmnm成立，则有（B）A.0nmB.0nmC.0nmD.0nm解析：因为)1(log)1(log)1(log)1(log2323232333nnmmnnmmnm，则)1(log)1(log233233nnnmmm，构造函数)1(log)(233xxxxf是单调递增函数，则nm，所以0nm，答案选.B9．方程)4sin(log412xx的实根个数是（B）A.62B.63C.64D.65解析：考虑函数xy2log和函数)4sin(4xy的图像可知有63个交点，所以方程)4sin(log412xx的实根个数是63个.10．设方程0133xx的三个实根是1x、2x、3x)(321xxx.则代数式)())((132323xxxxxx的值为（D）A.2B.1C.1D.0解析：利用三倍角公式得到方程：0133xx的三个根是140cos2、100cos2、20cos2，再化为三角求值，答案为0.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy2log2的定义域为___________.解析：,0log0022xxx则函数的定义域为}120|{xxx且.12.若)(loglog)(loglog3993xx，则x.解析：设tx9log，则tx2log3，所以)2(log21)2(loglog393ttt，tt22，所以2t，故81x.13.不等式06||52||23xxx的解集是_________.解析：观察可知1x是方程06||52||23xxx的一个根，则0)2|)(|3|)(|1|(|6||52||23xxxxxx，所以3||1x，所以原不等式的解集为)3,1()1,3(.14.已知)(xf是偶函数，且)(xf在区间),0[上是增函数，若)2()1(xfaxf在区间]1,21[上恒成立，则实数a的取值范围是__________.解析：)(xf是偶函数，则|)2(||)1(|xfaxf，又)(xf在区间),0[上是增函数，则|2||1|xax，由数形集合可知只需：1|1|23|121|aa，解得02a.15.定义区间],[21xx的长度为)(1212xxxx，已知函数)0,(1)()(22aRaxaxaaxf的定义域与值域都是)](,[mnnm，则区间],[nm的最大长度值为▲.解析：由题意知：函数xaxaaxf221)()(的定义域为}0|{xx，],[nm是函数)(xf的定义域的子集，所以)0,(],[nm或),0(],[nm，而xaaaxf211)(在区间],[nm上单调递增，则,)()(nnfmmf即nm,时方程xxf)(的两个根，即nm,是方程01)(222xaaxa的同号的相异实根，0，解得：1a或.3a而34)311(32amn，当3a时，mn的最大值为332.16.若ABC的重心为G，4,3,2BCACAB，动点P满足GCzGByGAxGP（1,,0zyx），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于___________.解析：极端值方法：令0x，则GCzGByGP，则点P位于平行四边形CGBG1内（如图所示），同理可得另外两种情况，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积S是ABC的面积的两倍，令xBD，则xCD4，由勾股定理：2222CDACBDAB可求得：.811x则8153AD,所以.2153815342122ABCSS17.已知函数||3)(2axxxf，若4])([2bxf对任意]1,1[x恒成立，则ba3的取值集合▲.}2{三、解答题：本大题共3小题，共51分．18.（本题满分15分）已知函数)0(3cos32cossin2)(2xxxxf的最小正周期为.（Ⅰ）求函数)(xf的单调递增区间；（Ⅱ）将函数)(xf的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(xgy的图像.若)(xgy在)0](,0[bb上至少有20个零点，求b的最小值.解：（Ⅰ）322cos1322sin3cos32cossin2)(2xxxxxx