基于Matlab带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示

1带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示物理系任海林指导教师：王维青【摘要】分析了带电粒子在不同的均匀稳定电磁场中受力时的各种特殊的运动情况，并用MATLAB软件编程实现运动轨迹演示。实现人机互动，即可根据需要输入不同的电场和磁场分量及带电粒子初速，由计算机演示出运动轨迹图.【关键词】带电粒子，均匀稳定电磁场，运动轨迹,计算机演示0引言带电粒子在电磁场中的运动时要受到电场和磁场对它的作用力，而且有许多的应用如：回旋加速器、磁聚焦、电子荷质比测定、质谱仪等等，这些应用都涉及到粒子的运动轨迹，可见研究此问题也有重要的理论和实际意义。随着现代科技的发展，多媒体计算机已不再是原来作为辅助者出现的MACI（MultimediaComputerAssistedInstruction）,而是全方位地渗透在物理教育教学之中。当前在新教育思想和理念的指导下的新课程改革，是要造成一种多媒体技术与物理整合的新局面。所以将一些物理知识制成物理课件已成为一种必然趋势。但应用MATLAB软件编程并演示粒子的运动轨迹图，至今还没有较全面的文章。这篇文章体现了传统知识与先进技术的结合，它不仅详细介绍了不同初始条件下有关于带电粒子在均匀稳定电磁场中运动的知识，而且还运用了MATLAB软件（可以对微分方程进行求解，读者也可以修改原程序来制作新程序等）对运动轨迹图进行了形象生动的演示。它既可以为学生学习提供帮助也可以为老师进行多媒体教学提供参考。1带电粒子在均匀稳定电磁场中受力分析:BVqEqam2带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动微分方程为:BVqEqdtrdm22①可将上式分解在直角坐标系展成标量式：2)()()(222222xyzxzyyzxBdtdyBdtdxmqmqEdtzdBdtdzBdtdxmqmqEdtydBdtdzBdtdymqmqEdtxd②令1mqBx2mqBy3mqBz则化简为:dtdydtdxmqEdtzddtdxdtdzmqEdtyddtdzdtdymqEdtxdzyx122231222322③令dtdxyxy21dtdyyyy43dtdzyzy65则得出程序认可方程：412266521634436243221yymqEdtdyydtdyyymqEdtdyydtdyyymqEdtdyydtdyzyx④根据上方程组进行编程，观看运动情况，做出运动轨迹立体图（如图1），此时取B（x）=1B(y)=1B(z)=1E(x)=1E(y)=1E(z)=2q=1.6em=0.02kg立体图（1）：在XY面上的投影（2）：3050100-2002040600100200300400500xE(x)1,E(y)1,E(z)1,B(x)o,B(y)o,B(z)1yz-10010203040506070-100102030405060xE(x)1,E(y)1,E(z)1,B(x)o,B(y)o,B(z)1y图1图2粒子在各个时刻的运动曲线的曲率与0,,VBE相关，这里不做具体讨论。下面我们对情况1进行分析和讨论：情况1B(x)=B(y)=0B(z)≠0E(x)=E(z)=0E(y)不定所以③式可化为022322322dtzddtdxwmqEtddydtdywtddx④式可化简为06652344343221dtdyydtdyywmqEdtdyydtdyywdtdyydtdy此时设计不同的0V和yE的值就可以得到不同的轨迹图ⅰ0,00yxEV作图3：05101500.20.40.60.8-1-0.500.51yxzE0,B0图34由于0,000zxVV，所以粒子运动只限于YZ平面，它的轨迹参量方程为：dtvztqBmEdtvttmqBqBmEdtvztxtx00)cos1()sin(由X，Y的方程可以看出它的轨迹是一条摆线，但又由Z的方程可知粒子的摆线轨迹有Z方向的位移。ⅱ0,0,0000yzyxEVVV时粒子的轨迹立体图，如图4；平面图，如图5：-2-1012-4-3-2-10-1-0.500.51yxE\0,B\neq0-2-1.5-1-0.500.511.52-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50E\0,B\neq0xy图4图5分析：由于BV0，洛仑兹力F永远垂直于磁感应强度B的平面内，而粒子的初速度V也在这个平面内，因此它的运动轨迹不会越出这个平面。又因为洛仑兹力F永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子的方向，但不改变其速率V，因此粒子在上述的平面内作匀速圆周运动，但圆的半径与荷质比有关，这也是质谱仪的工作原理。ⅲ当V与B有一定夹角，可将V分解为：sin,cos//vvvv。（即0,0,0zyxvvv），粒子的轨迹图又该如何？若只有分量v，带电粒子将在垂直的平面内作匀速圆周运动，若只有分量//v，粒子将沿B方向作匀速直线运动，当两分量同时存在时，带电粒子轨迹将是一条螺旋线，-0.500.511.5-1.5-1-0.500.5051015205图6其螺距为：qBmvTvh////2，带电粒子运动一周所前进的距离与v无关，所以若从磁场中某点A发射出一束很窄的电子流，使它们的速度很接近，并与B的夹角都很小，则vvvcos//。它们具有近似相同的螺距h，尽管它们的vvvsin不同，各粒子会沿不同的半径的螺旋线运动，但各粒子经过距离h后又重新会聚在一起，这就是磁聚焦。ⅳ当0,0zyBE情况下的轨迹立体图如图7：051015-4-202400.050.10.150.2xE0,B0yz图7分析：求解该情况下的微分方程可得：tBEvczyxsin，式中mqBzc称为回旋频率。解得的轨迹参量方程为tczyyctzzyxtqBmEdtvyttmqBqBmEdtvx0202)cos1()sin(这是摆线的参量方程。当;0,0zyxvvvy时；zcyzyBEntBEx2。如果粒子在原点有初速，那么对它的运动情况的描述，只不过是在上面讨论的结果中加一个Z方向的位移，它的值为tvzz。ⅴ当0,0zyBE情况下的轨迹立体图为：V（Z）≠0时，粒子的轨迹图是XY平面内的一条直线，V（X）≠0时，粒子在XY平面内的作平抛运动，它的轨迹图是一条抛物线（图8）。6051015200100200300400500-1-0.500.51yxzE\neq0,B\0图8情况2B不垂直于E时，我们选择B的方向为Z轴的方向，而选择通过B及E的平面为YZ平面。即0,0,0,0,0zyxzyxEEEBBB这时其运动方程的标量形式为：mqEdtzddtdxmqBmqEdtyddtdymqBdtxdzzyz222222⑤令dtdxyxy21dtdyyyy43dtdzyzy65则⑤式可化为mqEdtdyydtdymyqBEmqdtdyydtdymyqBdtdyydtdyzzyz66524434221对上面微分方程进行编程，就可以得出该情况下的轨迹图。下面我们就对粒子的轨迹进行分析：由⑤式第三个方程，我们可以看出，电荷以等加速度沿着Z轴方向运动，就是说，tvtmqEzzz022用i乘⑤式中的第二个方程，我们得到7yEmqiyixiyixdtd)()(（mqB）将yix当作未知量，上面方程的积分就等于上面的方程略去右边项的积分与该方程保留右边项的一个特别积分的和。第一积分是tae，第二个积分是BEmqEyy。因此，BEaeyixyiwt常数α一般来说是个复数。将iabea的形式，其中b及a为实数，我们可以看出，既然a被iwte乘了，那么，只要我们选择时间计算起点得当，就可以赋予位相A以任意一个值。我们适当选择时间计算起点，使A为实数。将yix分解为实数及虚数两部分，我们便得到wtayBEwtaxysin,cos在T=0时，速度是沿着X轴，其轨迹不定，但在XY平面上的投影有规律可依：将方程2再积分一次，并这样来选择积分常数，使当T=0时，X=Y=0，我们就可以得到：)1(cossintaytBEtaxy⑥将以上二式看作一个曲线的参数方程，这两个方程定义一个所谓次摆线。其轨道在XY平面上的投影是看A的绝对值是大于或小于zyBE。假如zyBEa，那么⑥式就变为)cos1(),sin(22tqBmEyttqBmExyy就是说，轨道在XY平面上的投影是一个摆线，如下图90510152025303540-5-4-3-2-101E(x)\0,E(y)\neq0,E(z)\neq0,B(x)\o,B(y)\o,B(z)\neq0xy图98当2qBmEay时，如图10；当2qBmEay时，如图11：0510152025-0.500.51E(x)\0,E(y)\neq0,E(z)\neq0,B(x)\o,B(y)\o,B(z)\neq0xy010203040506070-10-8-6-4-202xE(x)1,E(y)1,E(z)1,B(x)o,B(y)o,B(z)1y图10图11上面我们就将带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动轨迹进行了全面的分析：不同的B，E，V都可以改变带电粒子的运动状态。下面我们将附上MATLAB的编辑程序，以供大家参考：3参考程序主程序文件：B1=input('请输入数字=');B2=input('请输入数字=');B3=input('请输入数字=');e1=input('请输入数字=');e2=input('请输入数字=');e3=input('请输入数字=');c=input('请按此格式依次输入[x(0),vx(0),y(0),vy(0),z(0),vz(o)]=');q=1.6e-2;m=0.02figurestrd{1}='E(x)\neq1,E(y)\neq1,E(z)\neq1,B(x)\neqo,B(y)\neqo,B(z)\neq1';[t,y]=ode23('dcc9fun',[0:0.001:20],c,[],q,m,B1,B2,B3,e1,e2,e3);title(strd{1},'fontsize',12,'fontweight','demi');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');view([-51,18]);comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));gridon函数文件：functionydot=dcc9fun(t,y,flag,q,m,b1,b2,b3,e1,e2,e3)ydot=[y(2);q*e1/m+q*b3*y(4)/m-q*b2*y(6)/m;y(4);9q*e2/m-q*b3*y(2)/m+q*b1*y(6)/m;y(6);q*e3/m+q*b2*y(2)/m-q*b1*y(4)/m];4结束语写到这里，我们将各种情况列表归纳如下：B(x)B(y)B(z)E(x)E(y)E(z)V(x)V(y)V(z)图形≠0≠0≠0≠0≠0≠0≠0≠0≠0螺旋线=0=0≠0=0≠0=0≠0=0=0圆=0=0=0=0≠0=0=0=0≠0直线=0=0=0=0≠0=0≠0=0=0抛物线=0=0≠0=0≠0≠0///图a=0=0≠0=0≠0≠0///图b=0=0≠0=0≠0≠0///图c以上就是各种不同初始条件下的代表轨迹图上面我们就将带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动轨迹