江苏省2012年普通高校对口单招数学试卷及答案

1江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．若集合{1,2}M，{2,3}N，则MN等于（）A．{2}B．{1}C．{1,3}D．{1,2,3}2．若函数()cos()fxx（0）是R上的奇函数，则等于（）A．0B．4C．2D．3．函数2()fxxmxn的图象关于直线1x对称的充要条件是（）A．2mB．2mC．2nD．2n4．已知向量(1,)ax，(1,)bx．若ab，则||a等于（）A．1B．2C．2D．45．若复数z满足(1)1izi，则z等于（）A．1iB．1iC．iD．i6．若直线l过点(1,2)且与直线2310xy平行，则l的方程是（）A．3280xyB．2380xyC．2380xyD．3280xy7．若实数x满足2680xx，则2logx的取值范围是（）A．[1,2]B．(1,2)C．(,1]D．[2,)8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为a，则方程012axx有两个不相等实根的概率为（）A．32B．31C．21D．12529．设双曲线22221xyab（0,0)ab的虚轴长为2，焦距为23，则此双曲线的渐近线方程为（）A．2yxB．2yxC．22yxD．12yx10．若偶函数()yfx在(,1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．3()2f(1)f(2)fB．(1)f3()2f(2)fC．(2)f(1)f3()2fD．(2)f3()2f(1)f11．若圆锥的表面积为S，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）A．3SB．23SC．5SD．25S12．若过点(3,0)A的直线l与圆C：22(1)1xy有公共点，则直线l斜率的取值范围为（）A．(3,3)B．[3,3]C．33(,)33D．33[,]33二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．sin150．14．已知函数()fx11x，则[(1)]ff．15．用数字0，3，5，7，9可以组成个没有重复数字的五位数（用数字作答）．16．在ABC中，BAba2cos,23sin,20,30则．17．设斜率为2的直线l过抛物线22ypx(0)p的焦点F，且与y轴交于点A．若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则此抛物线的方程为．18．若实数x、y满足220xy，则39xy的最小值为．3三、解答题（本大题7小题，共78分）19．（6分）设关于x的不等式||xa1的解集为(,3)b，求ab的值．20．（10分）已知函数xxxfcos)tan31()(．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若21)(f，)3,6(，求sin的值．21．（10分）已知数列{na}的前n项和为nS2nn，nN．（1）求数列{na}的通项公式；（2）设2nanb1，求数列{nb}的前n项和nT．22．（10分）对于函数()fx，若实数0x满足00()fxx，则称0x是()fx的一个不动点．已知2()(1)(1)fxaxbxb．（1）当1a，2b时，求函数()fx的不动点；（2）假设12a，求证：对任意实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点．23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为31与p．假设乙投篮两次，均未命中的概率为254．4（1）若甲投篮4次，求他恰命中3次的概率；（2）求乙投篮的命中率p；（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数的概率分布与数学期望．24．（14分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，11ADAA，2AB．（1）证明：当点E在棱AB上移动时，11DEAD；（2）当E为AB的中点时，求①二面角1DECD的大小（用反三角函数表示）；②点B到平面1ECB的距离．ECDBC1AB1A1D125．（14分）已知椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率为23，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为5．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，且过点(9,)Dm的直线DA、DB与此椭圆的另一个交点分别为M、N，其中0m．求证：直线MN必过x轴上一定点（其坐标与m无关）．5江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案DCABCBAACDBD二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．1214．2315．9616．1317．28yx18．6三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（本小题6分）解：由题意得11xa，………………………………………………………………1分11axa，…………………………………………………………1分113aba，………………………………………………………………2分解得21ab，………………………………………………………………1分所以3ab．…………………………………………………………1分20．（本小题10分）解：（1）由题意得()cos3sinfxxx…………………………………………………1分2sin()6x，……………………………………………………2分所以函数()fx的最小正周期2T．……………………………1分（2）由1()2f得1sin()64，…………………………………………………………1分因为(,)63，所以(0,)62，…………………………1分215cos()1sin()664，…………………………1分从而sinsin[()]666sin()coscos()sin66661315142423158．…………………………3分21．（本小题10分）解：（1）当1n时，211110aS，………………………………1分当2n时，1nnnaSS22()[(1)(1)]nnnn22n，……………………………………………2分综合得22nan，nN+………………………………………2分（2）222121nannb141n，…………………………………1分21(1444)nnTn1(14)14nn4133nn．…………………………………4分22．（本小题10分）（1）解：由题意得2(21)(21)xxx，……………………………1分即2230xx，解得11x，23x，……………………………………2分所以函数()fx的不动点是1和3．……………………………1分（2）证明：由题意得21(1)(1)2xbxbx，①……………………………1分即21(1)02xbxb，……………………………1分因为判别式22(1)bb222bb……………………………2分2(1)1b0，……………………………1分7所以方程①有两个相异的实根，即对任意实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点．……1分23．（本小题14分）解：（1）记甲投篮4次，恰命中3次的概率为1P，由题意得1P334128C()3381．……………………………4分（2）由题意得24(1)25p，……………………………3分解得35p．……………………………………………1分（3）由题意可取0，1，2，…………………………………1分154)531()311()0(P，15853)311()531(31)1(P，1535331)2(P．所以的概率分布列为……………………………………………3分1514153215811540)(E．……………………………………2分24．（本小题14分）（1）证明：连接1AD．在长方体1111ABCDABCD中，因为1ADAA，所以11AADD为正方形，从而11ADAD．因为点E在棱AB上，所以1AD就是1ED在平面11AADD上的射影，从而11DEAD．……………………………………………4分012P1541581538（2）解：①连接DE．由题意知11ADAA，1AEEB．在RtDAE中，22112DE，在RtEBC中，22112EC，从而2224DEECDC，所以ECDE，又由1DD面ABCD知1DDEC，即1ECDD，从而EC面1DDE，所以1ECDE，因此1DED是二面角1DECD的平面角．…………………2分在1RtDDE中，1112tan22DDDEDDE，得1DED2arctan2，即二面角1DECD的大小为2arctan2．…………………3分②设点B到平面1ECB的距离为h，由11EBBCBB知112ECBCBE，1233(2)42ECBS．……………………………1分因为11BECBBECBVV，所以111133ECBECBShSBB，即131113232h，所以33h，故点B到平面1ECB的距离为33．……………………………4分925．（本小题14分）解：（1）设右焦点为)0,(c，则由题意得532caac，……………………………………………2分解得23ca，所以549222cab，椭圆C的方程为15922yx．………………………………………2分（2）由（1）知)0,3(),0,3(BA,直线DA的方程为)3(12xmy………………………………………1分直线DB的方程为)3(6xmy………………………………………1分设点M的坐标为),(11yx，点N的坐标为),(22yx，由159)3(1222yxxmy，………………………………………1分得0451291254)1295(22222222mxmxm，由于),0,3(AM),(11yx是直线DA与此椭圆的两个交点，所以2222211295451293mmx，解得221803240mmx，从而2118040)3(12mmxmy．…………2分10由159)3(622yxxmy，………………………………………1分得04569654)695(22222222mxmxm，由于),0,3(BN),(22yx是直线DB与此椭圆的两个交点，所以22222269545693mmx，解得22220603mmx，从而2222020)3(6mmxmy．…………2分若21xx，则由222220603803240mmmm，得402m此时121xx，从而直线MN的方程为1x，它过点E)0,1(；若21xx，则402m，直线ME的斜率2222401018032408040mmmmmmkME，直线NE的斜率222240101206032020mmmmmmkNE，得NEMEkk,所以直线MN过点)0,1(E，因此直线MN必过x轴上的点)0,1(E．………………………………2分11