5.4--频率域稳定判据

5.4频率域稳定判据1.数学基础2&3.稳定判据和对数频率稳定判据4.条件稳定1.数学基础（1）复变函数的映射规律（2）幅角原理（3）幅角原理的等价表述（4）函数的平移映射（5）运用Nyquist围线后的幅角原理（2）幅角原理设s平面上封闭曲线s包围复变函数F(s)的Z个零点和P个极点，那末当变量s沿s顺时针绕一周时，它的映象绕F(s)平面原点的周数R满足以下关系式RPZ〖说明〗R为正时，表示“逆时针”；为负，表示“顺时针”。（3）Nyquist稳定判据的基本原理奈氏路径：设有封闭曲线C，它不经过G(s)H(s)的极点，且顺时针包围了整个s右半平面，称C为奈氏路径，其组成为：1）正虚轴：s＝jω:ω＝0－∞2）半径为无限大的右半圆s＝Rejθ:-π/2θπ/2,R－∞.3）负虚轴：s＝jω:ω＝-∞－0在F(s)平面上绘制与C相对应的C’。如果在右半平面存在F(s)的Z个零点和P个极点，当s沿C曲线顺时针移动一周，则C’在F(s)平面上将以顺时针防线围绕原点旋转N圈。可利用幅角定理判断系统稳定性，并得出频率法的系统稳定性的图解判据——Nyquist稳定判据RPZ考虑()()()()1()()1()()BsAsBsFsGsHsAsAs函数形式后的幅角原理表述：Nyquist稳定判据的图示s的选择考虑：使它包围整个s右半平面。Z:(s)闭环传递函数在s右半平面上的极点数。P：开环G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。R：Nyquist围线逆绕GH(s)平面（-1,0）的圈数。RPZR：逆绕F(s)平面原点的圈数。Z:s所包的(s)在s平面上的零点数。P：s所包的F(s)在s平面上的极点数。GHF1简单平移；围线形状不变；旋转方向不变。R：逆绕GH(s)平面（-1,0）的圈数。GHGHGHGHGHFFABAABGHFAB11P：s所包的G(s)H(s)开环在s平面上的极点数。（4）函数G(s)H(s)=F(s)-1所实现的映射Z:(s)闭环传递函数在s右半平面上的极点数。R：顺绕GH(s)平面（-1,0）的圈数。P：s所包的G(s)H(s)开环在s平面上的极点数。Z:s所包的(s)闭环函数在s平面上极点数。ZPR考虑FGGHG1函数形式后的幅角原理表述：（5）运用NyquistContours后的幅角原理s的选择考虑：使它包围整个s右半平面。Z:(s)闭环函数在s右半平面上的极点数。P：开环G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。R：Nyquist围线顺绕GH(s)平面（-1,0）的圈数。（1）S平面上封闭路径s的选择（2）S平面上封闭路径s在G(s)H(s)平面上的映象（3）NyquistCriterion（4）NyquistCriterion的几种等价表述2.稳定判据和对数频率稳定判据（1）S平面上封闭路径s的选择对封闭路径s的要求：能包含整个S右半平面。也就是说，假如开环传递函数G(s)H(s)具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s所包围。图1图2若G(s)H(s)在虚轴上没有极点，则选择图1所示的路径。它由两部分组成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。若G(s)H(s)在虚轴上有极点，则选择图2所示的路径。它由三部分组成：包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无穷大的右半园。END（2）S平面上封闭路径s在G(s)H(s)平面上的映象S平面上虚轴，jw：w从。它在G(s)H(s)平面上的映象就是开环幅相频率曲线。S平面上无穷大半径的右半圆，9090,:ReRsj它在G(s)H(s)平面上的映象:A.为G(s)H(s)平面坐标原点（如图），当G(s)H(s)的nm时。B.为G(s)H(s)平面实轴上的K*（开环根轨迹增益）点，当G(s)H(s)的n=m时。。S平面上虚轴极点的邻域e右半小圆：9090,0:eejiepsA.当pi=0时，参见下图。)(1)()(1sGssHsG)0(1jG其中)()(1ejGGHe1GHAB.pi非0时，本课程不研究。0)(GH11(0,|()|)nGjw11221()()()()nGsHsGssw,[90,90]jnsjewe11(90)1()()()(2)jnneGsHsGjwwe11111()(),90,()()(90),(90,90)()180,90,nnnnnAsGjsGjGjjwwwww即s=j即s=(B)含有等幅振荡环节：()()180()()oGHnnnnGjwGjwGjwGjw1＋＋为以为起点，半径为无穷大，顺时针以的圆弧至为终点。ZPRR：逆绕GH平面（-1,j0）的圈数。Z:s所包的(s)闭环函数在s右半平面上极点数。P：s所包的G(s)H(s)开环函数在s右半平面上的极点数。)()(sHsG闭环系统(s)稳定的充分必要条件是：Nyquist曲线不穿过（-1,j0）点，且顺时针包围（-1,j0）点的圈数R等于开环传递函数G(s)H(s)的正实部极点数P。（3）NyquistCriterionZPR根据半闭合曲线判别系统稳定性的Nyquist稳定判据NNNPZ2RNN2Z:s所包的(s)闭环函数在s右半平面上极点数。P：s所包的G(s)H(s)开环函数在s右半平面上的极点数。R：Nyquist曲线逆绕GH平面（-1,j0）的圈数。N：半Nyquist曲线逆绕GH平面（-1,j0）的圈数。R=-2R=0R=0R=-1R=-32ZPNNNNZ:s所包的(s)闭环函数在s右半平面上极点数。P：s所包的G(s)H(s)开环函数在s右半平面上的极点数。R：半Nyquist曲线逆绕GH平面（-1,j0）的圈数。2()ZPNNN+：半Nyquist曲线自上向下穿越GH平面(-,-1)区间的次数。N--：半Nyquist曲线自下向上穿越GH平面（-,-1）区间的次数。根据正、负穿越情况判别系统稳定性的Nyquist稳定判据2()ZPNNN+：半Nyquist曲线自上向下穿越GH平面（-,-1）区间的次数。N--：半Nyquist曲线自下向上穿越GH平面（-,-1）区间的次数。N+：对数频率相频曲线自下向上穿越“wwc段的–180度线”的次数。N--：半Nyquist曲线“以相角减小方式”穿越GH平面（-,-1）区间的次数。N--：对数频率相频曲线自上向下穿越“wwc段的–180度线”的次数。N+：半Nyquist曲线“以相角增大方式”穿越GH平面（-,-1）区间的次数。【例5-4-3】某单位反馈系统：其开环传递函数的“正实部极点数”NP=0,系统类型号1。已知在增益K=10时，有如图5-4-3所示的Nyquist图。试确定系统闭环稳定时K的取值范围。（1）把开环传递函数表达为)()(1sGsKsG（2）据题给条件可知：Nyquist曲线与负虚轴交点处有以下关系5.0)(5.1)(2)(332211（3）根据交点坐标和（-1，0）之间关系求出各临界K值。因为增益K的变化，只影响幅相频率曲线的“幅值”。因此可写出21)(10)(11wjssGssGsK510211K5.11)(10)(22wjssGssGsK5.01)(10)(33wjssGssGsK67.6105.112K3110200.5K4.条件稳定系统•具有下图曲线的开环传递函数如果没有“正实部”极点，那末相应闭环系统是稳定的，因为曲线“正、负”穿越“红线”的次数的差为0。但当增益增大或减小到某范围时，都可能是导致系统不稳定。•所谓条件稳定是指：只有当开环传递函数的某个（或某些）参数在一定范围内取值时，闭环系统所具有的稳定。•已讨论过的“系统稳定的参数取值范围”研究方法：Routh表法；根轨迹法。•闭环系统稳定范围也可以通过“NyquistPlot”或“BodeDiagram”来讨论。【例】某单位反馈系统：其开环传递函数的“正实部极点数”P=0,系统类型号1。已知在增益K=10时，有如图5-4-3所示的Nyquist图。试确定系统闭环稳定时K的取值范围。（1）把开环传递函数表达为)()(1sGsKsG（2）据题给条件可知：Nyquist曲线与负虚轴交点处有以下关系5.0)(5.1)(2)(332211（3）根据交点坐标和（-1，0）之间关系求出各临界K值。因为增益K的变化，只影响幅相频率曲线的“幅值”。因此可写出21)(10)(11wjssGssGsK510211K5.11)(10)(22wjssGssGsK5.01)(10)(33wjssGssGsK67.6105.112K20105.012K（4）据算得的临界K值和题给幅相频率曲线，可得到结论：51K67.62K202K5.0)(5.1)(2)(332211当或时，幅相频率曲线不包围(-1,0)，所以系统稳定。〖说明〗•在计算频率曲线包围(-1,0)圈数或穿越（-,-1）轴线段次数时，一定要注意频率曲线的完整性。比如，本例只有补画了那段“蓝线”后，才是完整的半Nyquist围线。•当增益等于临界K值时，闭环系统将包含纯虚极点，使得阶跃响应中包含等幅振荡分量。在经典控制论中也认为是不稳定的。END