断裂与损伤——·应力强度因子的求解

第三讲·应力强度因子的求解与Westergaard方法(),()zz1101111()()()()()zzzzzzxy1x1yooz0z1z寻求满足边界条件下的，由此二函数求解KI、KII和应力场、位移场。坐标平移预备知识:复应力函数1izzexy1x1yo坐标系转动角的情形1111114Re()4Re()22()()22()()xyxyyxxyyxxyzzizzzizzz222xyxyiyxxyyxxyiei111111()()()()()()iizezzezzz010101I10II110III10Klim2πKlim2π0Klim2πySxySzySSSSS()zIKIIK由应力函数计算应力强度因子，不必先求得应力场,而只要复应力函数微商()z4Re()xyzIIIKK2cos2sin()222π2πxyOrrr11(cossin)22izrIII11Re(KK)()4222πRe()xyiOzzIII1()KK()22πziOzzIII0KKKlim22π()zizz求得，可以求得应力强度因子，()zIKIIK故由复应力函数求K的例子122212()xyiyxxyNNieNNo1N2N2ay()xxy情况Iyxx0zzyx)(41)(zzyx)(21)(情况II2221)(azzy22221)(azazy情况III222)(azizxy222222)(azazizxy叠加ziazizxyyxxyy)2(41)(21)(22zaziazaizyxxyxyy)(21)(21)(22222)(z添加了与刚体位移有关的无应力项xyi21222222211()()22411()()()22yxyxyxyyxyxyxyzizaizaziizazza1222111()()4411()(2)22xyiyxxyNNNNei222222211()(2)22111()(2)()()222zzazazzazza记平移到xoyxoy1101111()()()()()zzzzzz移轴公式11za1za按作展开之后1/21113/2211111()2()2421122()()48xyxyyxyxyxyyxyziaiazizizOza展开/21111()24nnxyxynazAzi123412()21()2411()420,yxyxyxyyxyAaiAiAiaA得注意到1/2112311113()22zAAAzz应力强度因子(SIF)的求解方法概述人们已经发展了多种方法求解应力强度因子SIF(StressIntensityFactor)，解析方法、数值方法和实验方法。在解析方法中，Westergaard方法、权函数法、积分变换法，这些方法一般只能求解某些简单构形的问题。数值方法有有限元法、边界元法、边界配位法等。实验方法有光弹性法、能量释放率法等。本节只简单介绍几种解析方法。Westergaard方法对于一般的二维平面问题，需要求解两个Kolosov－Muakhelishvili解析函数和。而对于纯Ⅰ型和纯Ⅱ型问题，Westergaard发现只需要求解一个解析函数，称为Westergaard函数。ZzWestergaard方法的裂纹解容易证明，双调和函数可以用三个调和函数，与表示U1U2U3U321UUUUyx对称的裂纹，westergaard假设,对于对称或反对称受载情况,可取)(Zz为一解析函数)(Zz称为westergaard复应力函数，dzzZydzzZdz)(Im)(Rey)U(x,I型裂纹///ReImReImReZyZyZZyZxyyyxx]ReIm)1(2[1]ImRe)21[(1ZyZdzEuZyZdzEuyx――平面应变)(21)(/zZz)(21)(//zzZz不难发现反对称（剪切）载荷ZdzyyxURe),(///ImReReReIm2ZyZZyZyZxyyyxx]ImRe)21([1]ReIm)1(2[1ZyZdzEuZyZdzEuyx――平面应变)(21)(/ziZziZizZz//21)(取纵向剪切作用的裂纹ZdtuzImZyzReZxzIm这里作为的解析函数)(tZZiyxt例子一，单向均匀拉伸的Griffith裂纹pazpzzZ21)(22二，双向均匀拉伸22)(azpzzZ三，均匀内压pazpzzZ22)(四，半无线裂纹在其一部分表面上受力)arctan(2)(zazapazZ五，远处均匀剪切的Griffith裂纹21)(22azzzZ六，反平面裂纹问题22)(atttZ)(zZ这些是怎样确定的，Westergaard方法中并没有给出一定的步骤，不如Muskhelishvili方法系统和直接Westergaard应力函数I型)(20IIZLimK寻求满足所有边界条件的应力函数)(IZ（1）Z0xyyx＝（2）ax||0y0xy（3）x轴上Pdxay（一）典型的张开型问题选取应力函数222222)(2)(azbzbaPzZzI坐标原点移到裂纹右尖端处，取az)2(])[()(2)(2222ababaaPZI2202)(2baaPZLimKII（二）在2a1内均匀分布的压力P利用叠加原理)(sin22110221aaapabaPdbKaIaa1aPKI（三）2222)()(azbzbaPzZI(i)当,axabx0)(Re00yIyxzZ0)(Re00yIyyzZ00yxyz0xyyx＝bz)(zZI它满足问题的全部边界条件(ii)在裂纹面上全x轴上(iii)(vi)附近，有奇异性右端AbabaaPzZazLimKIazI)()(2)(azZI)(2zZazLimKIazIbabaaPazbzbaPaziLimKazI2222)(2左端B集中力作用在裂纹中点，取P0b22azzPaZIaPKI/本例相当于裂纹面任一点作用单位载荷的基本解表面上有任意的分布载荷作用)(xPaaIdazzaPzZ2222)()()(aaAIdaaaPK)(,aaBIdaaaPK)(,)A(处点)B(处点Westergaard方法考虑如图所示的Ⅰ型对称平面问题。沿轴上有若干个直裂纹，且外载关于轴对称。再对称轴上的对称条件表示为：1x1x1x121,00x2212100,0ImImxxxzzzzzz利用了在实轴上的关系式1xzzT1x2xWestergaard方法由于上式在整个实轴上都成立，根据柯西-黎曼关系，有：因为在除裂纹以外的整个平面上解析，而且在整个实轴上等于实常数A。由解析延拓可得：若记为Ⅰ型问题的Westergaard函数，则应力和位移分量由Westergaard函数表示为20xzzzAzzzzAzz建立了在对称问题中两个解析函数和之间的关系ZzzzⅠ112222112ReImReImReZxZAZxZAxZⅠⅠⅠⅠⅠ12122212ReIm212ImRe2uZdzxZAxuZdzxZAxⅠⅠⅠⅠWestergaard方法·例子在双轴拉伸下含中心裂纹的无限大板情况。自由裂纹表面的边界条件可表述为：可得：在无穷远处得边界条件：从而得到该问题的Westergaard函数为：2122210,0xxai为裂纹半长a11Re0ZxAxaⅠ通解为：122RezZxAzaⅠ22Re2TdTmixZzAZⅠⅠT2x1x和分别为无穷远处沿和方向上的均匀拉力222zTZzaⅠ2TA当时，为等轴拉伸情况0AWestergaard方法·例子应力场和位移场由此都可以得到。裂纹上下表面的张开位移为：在裂纹尖端处的应力强度因子为：得到：22211,01,4uxzaxa即为前文求能量释放率时的表达式2limzaKzaZzⅠⅠKaⅠ说明横向应力并不影响裂纹张开位移和应力强度因子。(表达式中没有横向应力项)TWestergaard方法·例子对于Ⅱ型问题，Westergaard函数定义为：对应的应力、位移和SIF表示为：对于含中心穿透裂纹无限大板受远场均匀剪应力的情况，利用类似于Ⅰ型问题的求解步骤，可求出：2ZizⅡ2122Im2222limmdzaZzxZiZiBiiuuZdzxZZdziBzKizaZzⅡⅡⅡⅡⅡⅡⅡⅡ为待定的实常数B22221111,014zZzaKauxaxxaⅡⅡWestergaard方法·小结对于一般的二维裂纹问题，可以用Kolosov－Muakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。对于某些特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数和简化为确定一个复变函数，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。Z