圆柱体内部电势分布大物DTP

圆柱体内部电势分布何俊远（物理与电信工程学院物理学三班20082301022）摘要：在电磁学里面，用高斯定理求解电势的分布的要求是我们研究的物理对象具有高度对称性，而对于那些电荷并不是均匀或对称分布的物体，它的电势是难以用高斯定理求解的。在一些数理方程上，圆柱体柱顶已知电势，求圆柱体内部的电势分布也只给出了一般的解，十分的抽象，这次，除了逐步用分离变量法求解出方程的解，还有用图形把它完美的表达出来，用具体的图形反映抽象的物理情景。模型：空心圆柱体的电势分布方程及其边界条件0u00zu；Uuhz；0Rru由于研究的对象是圆柱体，拉普拉斯算子用柱坐标表示，得0)1)(1[222urrrzrr由于边界的条件与φ无关，所以只是r和z的方程：012222zururru……①令)()(),(zZrRzru，代入①式中，有ZZRRrR1有02222RrdrdRrdrRdr……②；0ZZ……③容易看出，方程②的解为贝塞尔函数)()()(00rBNrAJrR但由于当r→0时，N0→∞，B必须为0。所以)()(0rAJrR；由0)()(0RAJRR所以固有值2)0()(Rnn；所以)()()0(0rRAJrRnn因为λ0,-λ0；则Z的方程为本征方程zRnzRnnnneDeCzZ)0()0()(所以1)0(0)()(),()0()0(nnzRnzRnrRJeDeCzrunn由边界条件可知0)()()0,()0(01rRJDCrunnnn……④UrRJeDeChrunhRnhRnnnn)()),()0(01)0()0(……⑤由联系④、⑤方程，解得)()0(1)0()0(nnnnhJRshUC；)()0(1)0()0(nnnnhJRshUD得到方程的普通解为：1)0(0)0()0(1)0()0()()(2),(nnnnnnrRzJRshhJRshUzru该圆柱内的电势解得图像如下：结论：圆柱体内的电势分布呈现旋转抛物面形状，圆柱体的内侧面的电势为零。