7.5.(1)数学归纳法的应用

(二期课改)§7.1数列（1）**简述数学归纳法的基本步骤.**基于数学家对正整数的深入研究,对于证明与正整数有关的数学命题可以使用一种简便的科学方法---《数学归纳法》.(ⅰ)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时,命题成立;(如:n0=1或n0=2)(ⅱ)假设当n=k(K∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.(ⅲ)由(ⅰ)(ⅱ)可断定:对于从n0开始的所有n∈N*,命题都成立.*对于证明与正整数有关的无限个数学命题,《数学归纳法》是一种简单有效的科学证明方法.**《数学归纳法》的适用范围:**利用《数学归纳法》证明命题的注意事项:*结合(课本P32)实例说明用数学归纳法证明命题的两大步骤的不可或缺性:(1)只有步骤(ⅰ)而没有步骤(ⅱ),证明就会缺失其推理的依据.—(费尔马大定理)(2)只有步骤(ⅱ)而没有步骤(ⅰ),证明就会缺失其推理的基础.—(A·P求和公式)----(导致证明产生谬误)①师生互动完成板书证明过程,强调证明的基本步骤和格式的完整与规范化;*要求:②证明第二步递推关系的证明过程中,在由(n=k的假设)→(n=k+1的结论)时,应注意:⑴必须正确使用“归纳假设”进行推理,这是递推关系的具体体现;⑵要明确证明的目标式(等式右侧),利用因式分解,方便进行有目的地恒等变形;⑶注意证明的过程必须连续完整,切不可跳跃..1)n(n1)n(3n10372412*例题1:利用数学归纳法证明:)N(n**要求:1).n(2n(2n)1)(2n4321222222*例题2:利用数学归纳法证明:)N(n*①师生互动完成板书证明过程,强调证明的基本步骤、格式的完整与规范化;②应注意理解本例的第二步递推关系的证明过程中,在由n=k的结论→n=k+1的结论时,在等式的右边应增加的有两项:222)(2n1)(2n”。*例题3:利用数学归纳法证明:)N(n*1).(2n5312n)(n2)1)(n(nn本例的递推关系证明的过程中,由n=k→n=k+1时,目标虽然明确,但困难还是较大,应注意切不可漏项,并且要理解为了利用归纳假设,必须利用补项法进行必要的添项,这是解决本题的难点和关键所在.*策略:1)(k1)(kk1)(k1)(k1)(k21)(k11)(k假设当n=k时,命题成立.即有:*步骤(ⅱ):1);(2k5312k)(k3)2)(k1)(k(kk那么当n=k+1时,左边=2)1)(2kk)(2k(k4)3)(k2)(k(k2)1)(2kk)(2k(k3)2)(k(k1)(k1)(k11)2(2k1)(2k5312k1-1)2(k1)(2k53121k=右边.命题也成立;(师生互动探讨证法)3).1)(4nn(n1)2n(2n1)(2n)(2n)766(5)544(3)322(122222222*练习1:应用数学归纳法证明:1).1)(n(nn41)nn(n)3(n3)2(n2)1(n1222222222*练习2:应用数学归纳法证明:**请谈谈学习本课后的收获与体会***练习册P13练习7.5(A):1,2,3;*练习册P14练习7.5(B):1.