7.7.1数列的极限

第一章集合和命题第二章不等式第四章幂函数、指数函数、对数函数第三章函数的基本性质第五章三角比第六章三角函数7.7.1数列的极限1111,,,,,23n观察下列两个数列中的变化趋势na1111,,,,,23n一、数列极限的定义当项数n无限增大时，无穷数列的项na{}na无限趋近于某个常数A,（即|A|na无限趋近于0）,那么A是数列{}na的极限，记作limAnna或数列{}na收敛于An当时，Ana例1.判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限(1)(3)(2)345612,,,,,,,2345nn111111,,,,,(1),248162nn11,1,1,1,,(1),n存在极限，存在极限，极限不存在lim1nnalim0nna例1.判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限(4)(6)(5)3,3,3,,3,1,2,3,,,n23123,,,,,2222nn极限不存在存在极限，存在极限，lim3nnalim0nna(1)(3)(2)1lim0nn二、常见数列的极限lim0nnq（q是常数且|q|1）limncc（c是常数）例2.15.9,6.01,5.999,6.0001,6(),10n判断有没有极限，并说明理由.解：11|6()6||()|1010nn1()10n1lim()010nn1lim|6()6|010nn1lim[6()]610nn例3.判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限11,(1)12,nnann是正奇数n是正偶数极限不存在00.511.522.5051015202530354045系列1系列2,5(2)1,6nnnann存在极限，lim0nna例3.判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限01234560246810121416系列1三、数列极限性质（1）数列的极限若存在，则必是一个确定的常数.（2）改变数列的有限项，不会影响数列的极限.（3）数列的极限可被视为极限运算或运算的结果.limAnna课外阅读材料——高等数学中“极限”的定义设是一给定数列，a是一个实常数.{}nx若对于任意给定的，可以找到自然数N,使得当nN时成立||nxa则称数列收敛于a0{}nx(或a是数列的极限){}nxlimnnxa记为有时也记为()nxan————《数学分析上册》高等教育出版社1999