九年级数学一元二次方程(带答案)

1第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】一.知识结构网络一元二次方程解法直接开平方法配方法公式法因式分解法分式方程的解法二元二次方程组的解法性质判别式根与系数的关系应用二次三项式的因式分解列方程或方程组解应用题二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解。当0b时，可两边开平方求得方程的解；当0b时，方程无实数根。2.因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3.配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4.公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02cbxax，确定a、b、c的值；（2）计算acb42的值并判别其符号；（3）若042acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042acb，则方程无实数解。【典型例题】（1）67302xx（用因式分解法）2解：0)32)(13(xx23，31∴032或013∴21xxxx（2）1432xx（用公式法）解：01432xx028)1(×3×4)4(2372，372∴37±23×228±)4(∴21xxx（3）030222xx（用配方法）解：15222xx8121)42()42(15)42(222222xxx225，23∴2411±42∴21xxx【经典练习】一、直接开方法（1）()()xx11222（2）bax2)(二、配方法注：（1）223002xx（2）3412xx二、公式法1.用求根公式法解下列方程()12202xx；3解：()228102yy；解：()3231802xx；解：()43212yy；解：()525102xx；解：()625302xx；解：()734502xx；解：(7)方程无实数根；()82432202xx；解：()...90020030352xx；解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，()()()101233132xx解：。三、因式分解1.用因式分解法解下列各方程：（1）x2－5x－24＝0；解：；（2）12x2＋x－6＝0；解：；（3）x2－4x－165＝04解：；（4）2x2－23x＋56＝0；解：8，27，0)8)(72(21xxxx；（5）924164122xxx；解：（6）33332()()xx；解：（7）xx23260()解：；（8）()xx251062；解：(x－2)2－5(x－2)＋6＝0，(x－2－2)(x－2－3)＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t(t＋3)＝28；解：（9）t2＋3t－28＝0，(t＋7)(t－4)＝0，t1＝－7，t2＝4；（10）(x＋1)(x＋3)＝15。解：x2＋4x＋3＝15，(x＋6)(x－2)＝0，x1＝－6，x2＝22.用因式分解法解下列方程：（1）(y－1)2＋2y(y－1)＝0；解：；（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2；解：0)]3(2)23)][(3(2)23[(xxxx8，54，0)8)(45(21xxxx（3）9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；解：[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，219，101，0)192)(110(21xxxx（4）(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0。解：[(2y＋1)＋1][(2y＋1)＋2]＝0，三、综合练习1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）A.7x2－x－1＝0B.9x2＝4(3x－1)5C.xx27150D.3222102xx2.若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（C）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.根的情况不确定解析:因为△＝4(a＋b＋c)2－12(a2＋b2＋c2)＝4(－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc)＝－4[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＜03.若方程mxmx222310()的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx∵方程有两个实根3213211∵0≠且43∴0≠，且04)32(∴2221121222mmmmxxxxxxSmmmmm0≠23且4323∴23∴SSSm3≠且23∴SS。4.已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0。m取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解析:△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3)。（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，原方程没有实数根。5.已知关于x的方程xkxkk2221210()①（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程yxxkyxkxk2121220()()()②的根，其中xx12，为方程①的两个实数根。6求：代数式()114112aaaaaa÷·的值。分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成0122yy，再利用根的定义得到122aa，将代数式化简后，把122aa整体代入即可求出代数式的值。（1）证明：∵08484484)12(4)1(42222kkkkkkk∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。（2）解：∵21，xx是方程①的两个实数根12，)1(2∴22121kkxxkxx1)1(212)())((22)1(22∴22221212121kkkkkkxxkxxkxkxkkkxx∴方程②012为2yy∵a是方程②的根，∴0122aaaaaaaaaaaa1·14÷)11(∴12，0≠1，0≠∴222142·)(4)112)](12(1[4)1)(1(1·41·)1(12222222aaaaaaaaaaaaaaaaaa注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6.已知关于x的一元二次方程axaxc220的两个实数根之差的平方为m（1）试分别判断当acac1322，与，时，m4是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a，m4总成立，求实数c及m的值。解：（1）时，3，1当ca原方程化为3，1，则032212xxxx∴416)]3(1[2m即4m成立当2，2ca时，原方程化为02422xx由02×2×442，可设方程的两根分别为21，xx则22，22121xxxx7∴42244)()(21221221xxxxxxm即4m不成立（2）设原方程两个实数根是21，xx则acxxxx2121，2acxxxxxxm444)()(21221221∵对于任意一个非零的实数a，都有444ac4，0∴04时，0当0∴2mcacc第2讲根的判别式【知识要点】1.根的判别式：关于x的一元二次方程axbxca200()≠bac24当0时，方程有两个不相等的实根当0时，方程有两个相等的实根当0时，方程无实根【典型例题】1.a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根分析：此题需证出△＜0。已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。证明：因为△＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝[(b2＋c2－a2)＋2bc][(b2＋c2－a2)－2bc]＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)。(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0，同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0。又a＋b＋c＞0，所以△＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0。所以，原方程没有实数根。【经典习题】cbacabxxcax、、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04)(.12为三边长的三角形是8（）A.以a为斜边的直角三角形B.以c为斜边的直角三角形C.以b为底边的等腰三角形D.以c为底边的等腰三角形2.已知关于x的一元二次方程xkxk2211410()（1）k取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根xx12，满足||xx12，求k的值。解：（1）032)141(4)]1([22kkk解得23当∴，23kk时，方程有两个实数根（2）∵21||xx，分两种情况①当211时，得0xxx，∴方程有两个相等的实数根。23∴，0∴k②当0∴，时，得02112xxxxx由根与系数关系，得01k∴，矛盾23知)1(，由1kk23∴舍去1∴kk3.已知方程xkxk222120()的两根的平方和为11，求k的值。解：设方程的两根为21，xx则有2，)12(22121kxxkxx112)(∴11∵212212221xxxxxx0)1)(3(0320642114214411)2(2)]12([222222kkkkkkkkkkk994)2(4)12(∵1，3∴2221kkkkk∴，舍去0时，3当k当0时，1k。∴1k注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4．含有绝对值的一元二次方程（1）.方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（）A.1B.2C.3D.4解：显然x＝0不是方程的根。当x＜0时，x｜x｜－8｜x｜－4＜0。∴x＜0的任何实数不可能是方程的根。当x＞0时，方程为x2－8x－4＝0。此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。又因x＞0，故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。（2）.求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根。解：令012x得21x显然21x不是方程的解当21x时，方程是04)12(2xx即1或3，解得0322xxxxx＝－1舍去，∴x＝3当21x时，方程是04)21(2xx即，0522xx解得6±1x61x舍去，∴61x故方程的实数根是61，321xx。5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：bcadcdab，那么xx452)1(=18时，x=。6.已知21,xx是方程01942