第9章(自相关)

《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著第九章自相关9.1自相关的含义及其表现形式9.2自相关的来源9.3忽视自相关的后果9.4自相关的检验9.5误差项一阶自相关的校正方法9.6误差项高阶自相关的校正方法9.7修正标准误的尼威—韦斯特方法9.8ARCH模型9.9例子：我国货币需求函数的估计9.10广义最小二乘法校正自相关—蒙特卡洛实验结果《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著前言•本章继续探讨违背经典假定的模型，在第三章所介绍的经典假定6要求随机误差没有自相关。•但实际问题研究中，如果数据观测值的顺序有一定含义，就有可能存在自相关。因而在时间序列数据中，自相关问题经常发生。《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著§9.1自相关的含义及其表现形式•一、自相关的含义图9.1.1：货币需求函数估计的残差图自相关？《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•图9.1.1中的残差似乎隐含着这么一种规律：后一期残差与前一期残差有一种相关性。这正是随机误差项自相关的一种表现形式。•自相关又称为序列相关，实际中，如果变量在时间或空间的顺序有一定含义，就有可能存在序列相关，特别是在时间序列数据的研究中，数据的观测值往往是按照时间的先后自然排列，因此连续观测的时间序列数据就表现出内在的相关性。•如：一年期存款基准利率、我国股票的上证综合指数或上证180指数《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著若误差项的性质满足(9.1.2)式，就称误差项没有自相关(或序列相关)。•经典线性回归模型假定随机误差项()不相关是指对于回归模型：01tttYX(9.1.1)t()0ijE,,ijTij(9.1.2)当随机误差项存在自相关时，用符号表示就是：()0ijE,,ijTij(9.1.3)《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著二、自相关的表现形式•假定随机误差项的自相关形式如下：1tttu(9.1.4)其中，为自相关系数或自回归系数。为随机误差项，满足经典假定，且与不相关。上式表示随机误差项的一阶自相关11tu1t《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•如果自相关系数ρ=0，则=，无自相关，如图9.1.2ttu•图9.1.2：无自相关序列《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著如果误差项的自相关系数大于0，此时误差项正自相关，如图9.1.3图9.1.3：正自相关序列《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•如果误差项的自相关系数小于0，此时误差项负自相关，如图9.1.4图9.1.4：负自相关序列《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•除了一阶自相关外，自相关还有许多其它形式。如：季度数据的模型中可能存在的基于季节的序列相关：滞后二期相关：类似地可构造更高阶的自相关，但通常一阶自相关最为常见。4tttu（9.1.5）1122ttttu（9.1.6）《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著§9.2自相关的来源•为什么随机误差项会有自相关？原因种种，常见的有以下几种：一、惯性如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。二、模型的函数形式设定不正确在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型所采用的函数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者遗漏重要解释变量，随机误差项往往也会出现自相关。《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、数据处理引起的自相关估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，这些数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计算得来；通过所谓的“内插”或“外推”得到人口普查、卫生服务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这些数据处理往往会引起随机误差项自相关。四、某些模型中的随机误差项的特性带来的自相关回归模型中，随机误差项所包含的是随机因素对被解释变量影响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若干期，这样就导致误差项具有自相关。如2003年的“非典”疫情对经济增长的影响。《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著§9.3忽视自相关的后果•如果误差项存在自相关，模型参数的最小二乘估计量将不再是BLUE，对回归参数的假设检验也不再可靠，具体而言，直接使用普通最小二乘法通常会带来如下结果：一、回归系数的最小二乘估计量仍具有无偏性对一元线性回归模型：01tttYX（9.3.1）无自相关情况下，的估计量为：1112ˆtttxx（9.3.2）《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著如果有自相关，，对的估计量取期望：tttu111111112211()ˆ()(())()TTttttttTTttttxxEEExx（9.3.3）可见，只要解释变量与随机误差项不相关，最小二乘估计的回归系数就具有无偏性。《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著存在一阶自相关，，则的方差为:tttu11ˆ22211111ˆˆ()()()TTtttttvarEExx22211()2()[]ttstsTTtsttttvarxxcovxx=(9.3.5)二、估计的回归系数不再具有最小方差性经典假定下，的方差为：1ˆ121()ˆ()tTttvarvarx（9.3.4）《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、有可能低估误差项的方差无自相关时,的方差的无偏估计量为：t221ˆˆ2TttN22ˆ()E即有：但当误差项有一阶自相关时，可得到:22{[2/(1)]2}ˆ()2NrEN(9.3.8)一般，和都是正数，则r22ˆ()E《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著§9.4自相关的检验一、图示法先观察对回归的残差时序图：图9.4.1：残差时间顺序图gldplex正相关《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•进一步，以残差的滞后一期做为横轴，当期残差为纵轴描点得到图9.4.2：-0.04-0.020.000.020.040.06-0.04-0.020.000.020.040.06e(-1)e图示法本质上还是一种经验判断，不能作为检验的最终依据。图9.4.2：当期残差与滞后残差关系图正的斜率《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著二、德宾—沃森的DW自相关检验该检验的前提条件：（1）回归模型含有截距项（2）解释变量是非随机的（3）随机误差项的自相关形式为一阶自相关（4）随机误差项被假定为正态分布（5）不能把滞后因变量作为解释变量放在模型中（6）统计数据比较完整，没有缺失数据，样本容量充分大《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著DW检验的基本原理和步骤：（1）给出原假设：，备选假设：0:0H1:0H（2）用残差构造DW检验统计量：21221()TtttTtteeDWe样本容量充分大的条件下，有：2221221TTTtttttteee代入(9.4.3)式，可得：211122222112222ˆ212(1)TTTttttttttTTtttteeeeeDWee(9.4.2)(9.4.4)(9.4.5)《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著自相关系数的取值范围为[-1,1]，则DW统计量的取值区间为[0,4]。（1）若误差项没有自相关，则对应DW统计量值为2。若计算得到的DW值大约为2，则表明误差项没有自相关。（2）若，表明误差项有完全正自相关，对应DW值等于0。因此，DW值越接近于0，正自相关的迹象越明显。（3）若，随机误差项具有完全的负自相关，对应DW等于4。因此，DW值越接近于4，负自相关的迹象越明显。11《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•DW统计量没有唯一的临界值帮助判断拒绝或不拒绝原假设，只有一个临界值的上限和临界值下限。将计算得到的DW值和上下限进行比较，从而容易判断误差项是否存在自相关。不同样本容量和解释变量对应的和可在附表中查得。具体判别规则如图9.4.3：UdLdUdLd正自相关拒绝不拒绝不确定区域不确定区域负自相关不拒绝拒绝0H0:0H1:0H*0:0H*1:0H*0H*0H0H0LdUd24Ud4Ld4DW图9.4.3DW检验的判别规则《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•当在DW值落入不确定区间时，也可采用修正的方法。给定显著性水平，具体检验方法是：•（1），，若,则在显著性水平上拒绝，即误差项存在显著正自相关。•（2），，若4-，则在显著性水平上拒绝，即误差项存在显著负自相关•（3），，若或，则在显著性水平上拒绝，即存在显著自相关。:0H01:0HUDWd0H:0H01:0HUDWd0H:0H01:0HUDWd4UDWd《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、布罗施—戈弗雷检验(简称BG)对于回归模型：011...ttkkttYXX(9.4.6)假设其误差项的自相关形式为：1122...tttptptu(9.4.7)则没有自相关的原假设为：012:...0pH备选假设：至少有一个不为0。(1,...,)iip《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•该检验过程如下：（1）使用OLS估计模型(9.4.6)，得到残差记为。（2）将上述估计的残差与残差滞后值进行辅助回归，并计算辅助回归模型的可决系数。（3）在大样本下，渐进地有：e12,,...,tttpeeee2R22()()TpRp对于给定显著性水平，若计算的大于的临界值，则拒绝原假设，认为至少有一个的值显著不为0，即存在自相关。2()TpR2()p《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著四、博克斯—皮尔斯的Q检验•根据OLS估计的残差构造Q统计量：21pjjQTr(9.4.12)其中，121TttjtjjTtteere残差无自相关的原假设下，由(9.4.12)式所定义的统计量渐进服从自由度为的分布。将计算的Q统计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。p2《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著•BG检验在应用过程中有几点需要注意：•（1）若模型(9.4.6)中的解释变量不是严格外生的，会有一个或多个与相关。•（2）即使误差项服从阶移动平均过程，BG检验也适用。•（3）确定滞后阶数的方法有二：一种是对辅助回归模型中的回归系数进行显著性检验，将显著不为0的系数保留在辅助回归中，另一种是使用赤池或施瓦茨信息准则筛选滞后长度。jtX1tq《计量经济学》，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编