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第1页（共13页）2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（﹣1，0]B．（0，1）C．（1，2]D．[0，2]2．（5分）已知函数f（x）＝，则＝（）A．1B．eC．D．﹣13．（5分）已知a∈R，命题p：复数a+（2﹣a）i在复平面内对应的点在第一象限内，命题q：，其中i是虚数单位，若p∧q是真命题，则a的取值范围是（）A．（0，2）B．[1，3]C．[1，2）D．（0，3）4．（5分）已知抛物线x2＝4y的准线为1，过点P（0，2）的直线交抛物线于点A，B，且满足，则线段AB的中点到准线1的距离为（）A．B．3C．D．25．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则＝（）A．B．﹣1C．D．6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝，BC＝2CD＝2，点E是BC的中点，∠BCD＝120°，则的值为（）第2页（共13页）A．B．1C．D．﹣17．（5分）为计算设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填（）A．i≤100B．i＜101C．i＜99D．i＝1018．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为（）A．4B．5C．D．第3页（共13页）9．（5分）某公园内有一个半径为60米的圆形池塘，池塘内有美丽的荷花与锦鲤，为了方便游客观赏，公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥（如图），其中AB＝CD，E，F分别为AB，CD的中点，圆心O为EF的中点，则木桥的长度最长可以为（）A．120米B．240米C．120米D．240米10．（5分）设函数，则使得f（2x+1）＜f（x﹣2）成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）在三棱锥PABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，PB＝2，∠PBC＝45°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是（）A．16πB．14πC．20πD．22π12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2直线1过左焦点F1且与双曲线的左支交于A，B两点，若|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．（5分）袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完全相同），某人从袋子中一次性取出2个小球，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x﹣2y的最大值为180，则实数m的值为．第4页（共13页）15．（5分）若展开式中前三项的系数成等差数列，且含x的项为f（x），则＝．16．（5分）若函数f（x）＝ex﹣（1﹣a）x﹣a（x+1）ln（x+1）在定义域内单调，则实数a的取值集合为．三、解答题（本大题共70分）（一）必考题（共60分）17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2+n+a+1（a∈R）．（1）若a＝2，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}是等差数列，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣OABC中，四边形OABC为直角梯形，AB∥OC，AO⊥OC，2AB＝2AO＝OC＝PO＝4，D为OC的中点，E为线段PO上的动点（不与端点重合）．（1）问：E在什么位置时，PB∥平面ADE？（2）若PO⊥平面OABC，当E到平面PBC的距离为时，求锐二面角E﹣BC﹣P的余弦值．19．（12分）清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于2018年11月2日3日分线上和线下同时进行，清华大学为了解2019届考生的学业水平，从线下考生中随机抽取100名考生，对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，按成绩分组，得到频率分布表如表：组号12345分组[560，580）[580，600）[600，620）[620，640）[640，660]第5页（共13页）频数①20频率0.100.25②0.05（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）学校校招办决定从第4，5组中用分层抽样的方法抽取10名考生进行自主招生面试，从这10名考生中随机抽取3名考生接受考官M的面试，这3名考生中来自第5组的人数记为X，试求X的分布列和数学期望．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆经过点（﹣1，），且它的右焦点为F（1，0），直线1：y＝kx+1与椭圆C有两个不同的交点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M在y轴上（M不在1上），且满足，其中S1，S2分别为△OAM，△OBM的面积，求点M的坐标．第6页（共13页）21．（12分）已知函数f（x）＝xe2x﹣a（2x+lnx），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣e2，求a的值；（2）若x0为函数f（x）的极值点，且f（x0）＞0，求证：．（二）选考题（共10分）22．（10分）在直角坐标系y中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程．（2）已知曲线C3是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且点A，B均异于坐标原点O，，求a的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3．（1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象第7页（共13页）（2）设函数f（x）的最小值为m，若a＞0，b＞0，c＞0，且++＝，求证：2a+3b+4c≥9．第8页（共13页）参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.A5.B6.B7.D8.D9.C10.C11.B12.A二、填空题13．14．6015．16．{1}三、解答题17．解：（1）由题意，若a＝2，则Sn＝n2+n+3．当n＝1时，a1＝S1＝12+1+3＝5．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+3﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+3]＝2n．∴数列{an}的通项公式为an＝．（2）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝a+3．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+a+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+a+1]＝2n．∴an＝．∵数列{an}是等差数列，∴2a2＝a1+a3，即a+3+6＝2×4，解得a＝﹣1．∴an＝2n，n∈N*；Sn＝n2+n，n∈N*．∴bn＝＝＝＝﹣．则Tn＝b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1+﹣﹣第9页（共13页）＝﹣＝．18．解：（1）根据题意，OD＝AB＝2，且OD∥AB，则平行四边形ODBA，连接OB，交AD为F，因为F为OB的中点，当E为OP的中点时，EF∥PB，则PB⊄平面AED，EF⊂平面EAD，故PB∥平面ADE，故E为PO的中点；（2）OP⊥平面OABC，BC⊂平面ABCO，所以BC⊥PO，由OB＝2，BC＝2，OC＝4，所以OC2＝OB2+BC2，所以BC⊥OB，所以BC⊥平面POB，BC⊥PB，PB2＝PA2+AB2＝24，利用体积公式VP﹣EBC＝VE﹣PBC，得，PE＝3，由BC⊥平面POB，BE⊂平面PEB，所以BE⊥BC，PB⊥BC，故∠EBP为所求二面角的平面角，EB＝，PB＝2，cos∠EBP＝，故锐二面角E﹣BC﹣P的余弦值为．19．解：（1）根据频率分布直方图的应用，解得①100×0.4＝40，②．（2）根据已知条件，第一组的直方图的高为0.005，第二组的直方图的高为0.0125，第三组的直方图的高为0.02，第四组的直方图的高为0.01，第五组的直方图的高为0.0025．第10页（共13页）故直方图为：（3）根据分层抽样的方法得到：25：10＝20：x，解得第四组抽取8人，25：10＝5：y，解得第五组抽取2人．故：从这10名考生中随机抽取3名考生接受考官M的面试，这3名考生中来自第5组的人数记为X，则：X＝0，1，2．所以P（X＝0）＝＝＝．P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，故分布列为：P012X所以E（X）＝＝．20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则c＝1，由椭圆经过（﹣1，），则，第11页（共13页）且a2＝b2+c2，解得：a＝2，，所以椭圆C的方程：；（2）方法一：过点A作AP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥y轴于点Q，易得，因为，所以，所以Rt△AMP∽Rt△BMQ，所以∠AMO＝∠BMO，即直线AM和直线MB的倾斜角互补，所以其斜率之和为零，当k≠0时，点M为y轴上除原点O和直线l与y轴的交点外的任意一点，则，所以x2y1+x1y2＝m（x1+x2），由，得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，则，，则x2y1+x1y2＝x2（kx1+1）+x1（kx2+1）＝2kx1x2+（x1+x2）＝，所以＝，因为k≠0，所以m＝3，所以点M的坐标为（0，3），综上所述，点M的坐标为（0，3）．方法二：因为，其中S1，S2分别为△OAM，△OBM的面积，所以，所以sin∠OMA＝sin∠OMB，直线AM和直线MB的倾斜角互补，所以其斜率之和为零．下同方法一．21．解：（1）∵函数f（x）＝xe2x﹣a（2x+lnx），x∈（0，+∞），第12页（共13页）∴f'（x）＝＝（2x+1）（e2x﹣），∴f'（1）＝3（e2﹣a），又f（1）＝e2﹣2a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e2﹣2a）＝3（e2﹣a）（x﹣1），即y＝3（e2﹣a）x﹣2e2+a，∴，解得：a＝e2；（2）由（1）得，f'（x）＝（2x+1）（e2x﹣），显然2x+1＞0，令g（x）＝e2x﹣，x∈（0，+∞），①当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，不符合题意，②当a＞0时，g'（x）＝2e＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，取b满足0＜b＜min{，}，则，∴g（b）＝，又g（a）＝e2a﹣1＞0，∴存在x0∈（b，a），使得g（x0）＝＝0，此时a＝，∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴x0为函数f（x）的极小值点，且f（x0）＝＝＞0，∴1﹣2x0﹣lnx0＞0，令h（x）＝1﹣2x﹣lnx，则h'（x）＝﹣2﹣＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（）＝ln2＞0，h（1）＝﹣1＜0，∴0＜x0＜1，∴lnx0＜0，令t（x）＝ex﹣（x+1），则t'（x）＝ex﹣1，∴t（x）在（0，+∞）上单调递增，∴t（x）＞t（0）＝0，即ex＞x+1，∴f（x0）＝＞x0（2x0+1）（1﹣2x0）＝．（二）选考题（共10分）22解：（1）曲线C1的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为第13页（共13页）（x﹣2）2+y2＝4．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．（2）曲线C1的直角坐标方程为转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3是过坐标原点且倾斜角为α的直线，所以θ＝α，故：，即ρ1＝4cosα，，即ρ2＝4sinα，所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝，解得，解得．23．解：（1），其图象如下：（2）证明：由（1）可知，m＝﹣3，则，∴，∴2a+3b+4c≥32＝9，当且仅当“”时取等号．日期：2020/3/2016:33:32；用户：LS_ZS_NEW_209542；邮箱：LS_ZS_NEW_209542.20689995；学号：28023324