钢管下料问题

2012年***大学公选课《数学建模》课程论文姓名论文题目钢管下料问题学号学院、专业论文分数数学建模论文1钢管下料问题一、问题的叙述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，为了使总费用最小，应该如何下料？二、摘要本文以钢管下料为背景，在尽量减少余料浪费，简化生产过程等约束条件下，应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。首先通过提取问题中的有用信息，即所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品）等，可以列出一系列约束条件。由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同，为了简便起见，对问题进行了一些简化假设，然后在这些假设下建立了数学规划模型，对问题进行了初步解答。得出最优切割方案为：共需要19根钢管，其中14根原料钢管分别切割90mm、315mm、350mm、455mm钢管为1根，2根，0根，2根；4根原料钢管切割为0根，0根，5根，0根；1根原料钢管切割为2根，0根，1根，2根；最后对本文所建立的模型又进行了较为全面的分析和评价，并指出了一些改进的方向。数学规划问题在实际生产、生活中非常常见，因此本文的建模思想对于该类其他问题的处理方法也具有一定的启发作用关键字数学规划切割模式LINGO一维下料三、问题重述通过阅读问题题目可知，该问题主要目的是要从一批长度为1850mm的原料钢管中切割出15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm三种特定长数学建模论文2度的成品钢管。合理的切割模式确定后，需要得出使切割总费用最小的切割方案。问题中的原料和成品长度都有限定，切割费用也与切割模式的使用频率有关。其中约束条件主要有：（1）原料钢管长度的约束，在不同切割模式下，成品的总长度不能大于1850mm；（2）切割产生的成品根数的约束，每根根钢管最多生产5根成品钢管；（3）切割后余料长度的约束，每根钢管在每种切割模式下的余料不能超过100mm；（4）切割模式种类的约束，最终使用的切割模式不能超过4种；（5）费用的计算方式是与切割模式的使用频率有关的。四、模型假设1、切割过程中不会产生报废的情况；2、切割过程中不会发生长度的损失；3、客户的需求不发生变化；4、切割费用只与切割模式的使用频率有关，与其他因素无关；5、假设不同的切割模式所使用的频率不相同五、符号说明符号代表的意义L原料钢管的总长度，即mmL1850表示第j种成品钢管的需求根数（4,3,2,1i）表示第j种成品钢管的长度表示在第i种切割模式下切割的原料钢管的根数（i=1、2、3、4）表示在第i种切割模式下一根原料钢管切割出的第j种成品钢管根数数学建模论文3用作下标，代表切割模式，用作下标，表示成品类型，表示一根原料钢管的价值表示不同使用频率的切割模式下所需的费用P切割总费用六、问题分析与模型的建立1、问题分析本题属于一维整数数学规划类问题，解决的基本思路为：由一系列约束条件确定不超过4个合理的切割模式组成最优切割方案，使总费用最少。但是又考虑到切割费用与切割模式的使用频率有关，而不同切割模式的使用频率可以相同。所以目标函数是不确定的，即需要建立多种不同的模型，然后利用lingo软件求出每种模型下的最优解。最后通过将各个模型进行对比，得出最有切割方案。2、模型的建立1、由于切割模式不多于4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），可以列出下列2个约束条件：（1）每根原料切割最多根数约束（2）原料总长度约束2、由原料长度，余料限制等条件可得以下几个约束条件（1）余料最大长度约束（2）客户需求数量约束数学建模论文4综合上述约束条件以及假设5可以得到以下数学模型：即目标函数：利用lingo软件计算模型一（源程序和运行结果见附录）结果如下表：切割模式钢管数290315350455余料1141202202400501003120121040103155最优解21.5由表可知：最优方案为选取19根钢管，其中14根原料钢管分别切割90mm、315mm、350mm、455mm钢管为1根，2根，0根，2根；4根原料钢管切割为0根，0根，5根，0根；1根原料钢管切割为2根，0根，1根，2根。七、模型的分析与改进1.模型优点：（1）建模思路清晰，模型的建立方案比较简单，易于读懂；约束条件其中数学建模论文5（2）模型结构分明；2.模型缺点：（1）没有对模型进行进一步的优化和更深层次的推广；（2）各模型的源程序近乎相同，过程显得有些繁琐。（3）模型在处理切割问题时，为了简化起见没有考虑到多种切割模式使用频率可能相同的情况。（4）由于再假设中对问题进行了简化，因此该模型不便于推广3、模型的改进方向：（1）处理切割问题时，考虑多种切割模式使用频率可能相同的情况。并通过改变目标函数表达式，或者利用其他程序（如C语言程序）来解决，其中通过改变目标函数表达式的方法比较容易实现，并且各种不同情况下的源程序基本相同，只是过程稍显繁琐。八、模型的评价该模型尽管有很多不足之处，但是其基本思想是正确的，因此对于解决其他的一维数学规划类问题还是具有一定的参考价值的。参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8[2]lingo基本教程：，2012.4.2附录程序代码：model:min=1.1*a1+1.2*a2+1.3*a3+1.4*a4;b11+b12+b13+b14=5;b21+b22+b23+b24=5;b31+b32+b33+b34=5;b41+b42+b43+b44=5;b11*290+b12*315+b13*350+b14*455=1850;b21*290+b22*315+b23*350+b24*455=1850;b31*290+b32*315+b33*350+b34*455=1850;b41*290+b42*315+b43*350+b44*455=1850;数学建模论文6b11*290+b12*315+b13*350+b14*455=1750;b21*290+b22*315+b23*350+b24*455=1750;b31*290+b32*315+b33*350+b34*455=1750;b41*290+b42*315+b43*350+b44*455=1750;b11*a1+b21*a2+b31*a3+b41*a4=15;b12*a1+b22*a2+b32*a3+b42*a4=28;b13*a1+b23*a2+b33*a3+b43*a4=21;b14*a1+b24*a2+b34*a3+b44*a4=30;a1+a2+a3+a4=19;a1+a2+a3+a4=22;a1a2;a2a3;a3a4;@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(a4);@gin(b11);@gin(b12);@gin(b13);@gin(b14);@gin(b21);@gin(b22);@gin(b23);@gin(b24);@gin(b31);@gin(b32);@gin(b33);@gin(b34);@gin(b41);@gin(b42);@gin(b43);@gin(b44);end运行结果：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:21.50000Objectivebound:21.50000Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:275Totalsolveriterations:9208VariableValueReducedCostA114.000001.100000A24.0000001.200000A31.0000001.300000A40.0000001.400000B111.0000000.000000B122.0000000.000000B130.0000000.000000B142.0000000.000000B210.0000000.000000B220.0000000.000000B235.0000000.000000B240.0000000.000000B312.0000000.000000B320.0000000.000000数学建模论文7B331.0000000.000000B342.0000000.000000B410.0000000.000000B420.0000000.000000B430.0000000.000000B444.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice121.50000-1.00000020.0000000.00000030.0000000.00000040.0000000.00000051.0000000.000000620.000000.0000007100.00000.000000810.000000.000000930.000000.0000001080.000000.000000110.0000000.0000001290.000000.0000001370.000000.000000141.0000000.000000150.0000000.000000160.0000000.000000170.0000000.0000001810.000000.000000193.0000000.000000201.0000000.000000