2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)-含答案

第1页2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设32zi，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．（5分）设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当(0x，1]时，()(1)fxxx．若对任意(x，]m，都有8()9fx…，则m的取值范围是()A．(，9]4B．(，7]3C．(，5]2D．(，8]31．（5分）若ab，则()A．()0lnabB．33abC．330abD．||||ab1．（5分）若抛物线22(0)ypxp的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则(p)A．2B．3C．4D．81．（5分）设F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于P，Q两点，若||||PQOF，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．51．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差1．（5分）下列函数中，以2为周期且在区间(4，)2单调递增的是()A．()|cos2|fxxB．()|sin2|fxxC．()cos||fxxD．()sin||fxx1．（5分）设集合2{|560}Axxx，{|10}Bxx，则(AB)A．(,1)B．(2,1)C．(3,1)D．(3,)1．（5分）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin()A．15B．55C．33D．255第2页1．（5分）已知(2,3)AB，(3,)ACt，||1BC，则(ABBC)A．3B．2C．2D．31．（5分）设，为两个平面，则//的充要条件是()A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面1．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M，月球质量为2M，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR．设rR．由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r的近似值为()A．21MRMB．212MRMC．2313MRMD．2313MRM二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2．（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若6b，2ac，3B，则ABC的面积为．2．（5分）已知()fx是奇函数，且当0x时，()axfxe．若(2)8fln，则a．2．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．2．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．第3页三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。3．（12分）已知数列{}na和{}nb满足11a，10b，1434nnnaab，1434nnnbba．（1）证明：{}nnab是等比数列，{}nnab是等差数列；（2）求{}na和{}nb的通项公式．第4页3．（12分）如图，长方体1111ABCDABCD的底面ABCD是正方形，点E在棱1AA上，1BEEC．（1）证明：BE平面11EBC；（2）若1AEAE，求二面角1BECC的正弦值．3．（12分）已知点(2,0)A，(2,0)B，动点(,)Mxy满足直线AM与BM的斜率之积为12．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．()i证明：PQG是直角三角形；()ii求PQG面积的最大值．第5页3．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)PX；（2）求事件“4X且甲获胜”的概率．3．（12分）已知函数1()1xfxlnxx．（1）讨论()fx的单调性，并证明()fx有且仅有两个零点；（2）设0x是()fx的一个零点，证明曲线ylnx在点0(Ax，0)lnx处的切线也是曲线xye的切线．第6页（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）4．（10分）在极坐标系中，O为极点，点0(M，00)(0)在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当03时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）5．已知函数()|||2|()fxxaxxxa．（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）当(,1)x时，()0fx，求a的取值范围．第7页2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设32zi，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．【解答】解：32zi，32zi，在复平面内z对应的点为(3,2)，在第三象限．故选：C．【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题．1．（5分）设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当(0x，1]时，()(1)fxxx．若对任意(x，]m，都有8()9fx…，则m的取值范围是()A．(，9]4B．(，7]3C．(，5]2D．(，8]3【分析】因为(1)2()fxfx，()2(1)fxfx，分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为(1)2()fxfx，()2(1)fxfx，(0x，1]时，1()(1)[4fxxx，0]，(1x，2]时，1(0x，1]，1()2(1)2(1)(2)[2fxfxxx，0]；第8页(2x，3]时，1(1x，2]，()2(1)4(2)(3)[1fxfxxx，0]，当(2x，3]时，由84(2)(3)9xx解得73m或83m，若对任意(x，]m，都有8()9fx…，则73m„．故选：B．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．1．（5分）若ab，则()A．()0lnabB．33abC．330abD．||||ab【分析】取0a，1b，利用特殊值法可得正确选项．【解答】解：取0a，1b，则()10lnabln，排除A；011331333ab，排除B；33330(1)1ab，故C对；||0|1|1ab，排除D．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题．1．（5分）若抛物线22(0)ypxp的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则(p)A．2B．3C．4D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：23()2ppp，解得8p．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．1．（5分）设F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于P，Q两点，若||||PQOF，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．5【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由||||PQOF列式求C的离心率．【解答】解：如图，第9页由题意，把2cx代入222xya，得2224cPQa，再由||||PQOF，得2224cac，即222ac，222ca，解得2cea．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．1．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．1．（5分）下列函数中，以2为周期且在区间(4，)2单调递增的是()A．()|cos2|fxxB．()|sin2|fxxC．()cos||fxxD．()sin||fxx【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．【解答】解：()sin||fxx不是周期函数，可排除D选项；()cos||fxx的周期为2，可排除C选项；()|sin2|fxx在4处取得最大值，不可能在区间(4，)2单调递增，可排除B．故选：A．第10页【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题．1．（5分）设集合2{|560}Axxx，{|10}Bxx，则(AB)A．(,1)B．(2,1)C．(3,1)D．(3,)【分析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，2{|560}{|3Axxxxx或2}x，{|10}{|1}Bxxxx，则{|1}(,1)ABxx；故选：A．【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．1．（5分）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin()A．15B．55C．33D．255【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得24sincos2cos，结合角的范围可求sin0，cos0，