直线与圆的最值问题

直线与圆相关的最值问题1题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于解析圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d＝2＋12＋－3－02＝32，所以最小弦长为2r2－d2＝225－18＝27，所以m－n＝10－27.变式训练1：1ykx与圆C2214xy相交于,AB两点，则AB的最小值是多少？解：直线1ykx过定点1,0M，当MCAB时，AB取最小值，由2222ldr，可知，222dRl，2MCd，故22222dRl变式训练2：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.(1)证明因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0，解得x＝3，y＝1，即l恒过定点A(3,1).因为圆心为C(1,2)，|AC|＝55(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时，l⊥AC.因为kAC＝－12，所以l的斜率为2.又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A）（0,2到圆C122yx的距离的最大值和最小值？解：ACd2，故距离的最大值为3rd，最小值为1rd直线与圆相关的最值问题2变式训练1：圆122yx上的点到直线2xy的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222d，则圆上的点到直线2xy的最大值为12rd则圆上的点到直线2xy的最小值为1-2-rd方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为rd，最小值为rd直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为rd，最小值为rd题型三：切线问题例3由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当PT最小的时候P的坐标？解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT＝PC2－1，故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程y＝x＋2，y＝－x＋2，解得点P的坐标为(0,2)．变式训练1：点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×12|OA|·|PA|＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝1022＋12＝25.故所求最小值为252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值