函数的单调性与最值课件

工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业第2课时函数的单调性与最值工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．【思考探究】单调区间与函数定义域有何关系？提示：单调区间是定义域的子区间．增函数减函数区间D工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝3x2＋1C．y＝2xD．y＝|x|答案：C工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－3]解析：二次函数的对称轴为x＝－1，又因为二次项系数为正数，拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为(0，＋∞)．答案：A工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业3．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－b2a＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．答案：B工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业4．已知f(x)为R上的增函数，且满足f1x＞f(2)，则x的取值区间是________．答案：0，125．函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．答案：121工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业试讨论函数f(x)＝xx2－1，x∈(－1,1)的单调性．解析：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2x22－1－x1x12－1＝x1－x2x1x2＋1x22－1x12－1.∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x1－x2＜0，x12－1＜0，x22－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0，∴x1－x2x1x2＋1x22－1x12－1＜0，因此，f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，此时函数为减函数．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业【变式训练】1.利用单调性的定义证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1＞x2＞－1，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1.∵x1＞x2＞－1，x2－x1＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－x1x1＋1x2＋1＜0，即y1－y2＜0，y1＜y2.∴y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝3x2－x.解析：(1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业(2)设μ＝x2－x，则y＝3μ.∵μ在－∞，12上为减函数，在12，＋∞上为增函数，又∵y＝3μ为增函数，∴y＝3x2－x在－∞，12上为减函数，在12，＋∞上为增函数．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业解析：(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．【变式训练】2.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)y＝x＋9x(x＞0)．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业(2)y′＝1－9x2＝x2－9x2＝x－3x＋3x2.令y′≥0，即(x－3)(x＋3)≥0，得x≥3或x≤－3(舍去)，∴单调递增区间为[3，＋∞)．令y′＜0，即(x－3)(x＋3)＜0，又x＞0，得0＜x＜3，∴单调递减区间为(0,3)．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业求函数最值(值域)常用的方法和思路(1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，联想到g(x)＝x＋1x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋12x1－12x2工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业＝x1－x22x1x2－12x1x2∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)用等价变换和函数思想解题．在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)＞0.工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业这样问题就转化为求g(x)的最小值φ(a)，从而得到关于a的不等式，解之即可．g(x)＝(x＋1)2＋a－1，对称轴为x＝－1，且开口向上，所以g(x)在[1，＋∞)上递增，所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业【变式训练】3.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值．解析：(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，∵f(x2)－f(x1)＝1a－1x2－1a－1x1＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业(2)∵f(x)在12，2上的值域是12，2，又f(x)在12，2上单调递增，∴f12＝12，f(2)＝2，∴a＝25.工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业1．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．工具第二章函数、导数及其应用栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(