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考纲要求考纲研读1.掌握基本初等函数的图象，能够利用函数的图象研究函数的性质．2．理解基本函数图象的平移、伸缩和对称变换，会求变换后的函数解析式.1.借助初等函数的图象，研究函2．借助初等函数的图象，通过函数图象的平移、伸缩和对称变换，研究与之相关的函数的最值及方程根的分布等.第5讲函数的图象数的奇偶性、单调性、对称性等．1．函数图象的作图方法以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．2．三种图象变换(1)平移变换①把y＝f(x)的图象沿y轴方向平移|b|个单位后可得到y＝f(x)＋b(b≠0)的图象，当b0时，向上平移；当b0时，向下平移；短(当w1时)到原来的—倍，纵坐标不变，就得到了y＝f(wx)(w0，②把y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后可得到y＝f(x＋a)(a≠0)的图象，当a0时，向左平移；当a0时，向右平移．(2)伸缩变换①把y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍，横坐标不变，就得到了y＝Af(x)(A0，A≠1)的图象；②把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长(当0w1时)或缩1ww≠1)的图象．(3)对称变换①作出函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形，即得y＝f(－x)的图象；②作出函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图形，即得y＝－f(x)的图象；③作出函数y＝f(x)的图象关于坐标原点的对称图形，即得y＝－f(－x)的图象；④去掉y＝f(x)在y轴左边的图象，作与右边对称的图象，即得到y＝f(|x|)的图象；⑤将y＝f(x)在x轴下边的图象翻上去(关于x轴对称)，即得到y＝|f(x)|的图象．1．函数f(x)＝2x的反函数y＝f－1(x)的图象为()AA图3－5－12．图3－5－1所示曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值有3，43，35，110，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是()A.3，43，35，110B.3，43，110、35C.43，3，35，110D.43，3，110，353．函数y＝lg|x|的图象大致是()C4．将函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1的)图象，则a等于(A．(－1，－1)C．(1,1)B．(1，－1)D．(－1,1)5．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，-1)，则a＝____.A12考点1函数图象的辨析例1：①(2011届安徽淮南一模)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中ab)的图象如图3－5－2所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()图3－5－2解析：由函数f(x)的图象可知0a1，b－1.不难发现只有A满足要求．A是()②函数y＝lncosx－π2xπ2的图象答案：A解析：函数y＝lncosx－π2xπ2是偶函数，排除B、D；t＝cosx在0，π2递减，则y＝lncosx在0，π2递减，排除C.这类辨析题都以选择题的形式出现，毕竟不同于作图题，要充分抓住定义域、奇偶性、单调性等性质进行选择，有时还可以利用特殊点代入，利用排除法求解．【互动探究】1．如图3－5－3，当a0且a≠1时，把函数y＝a－x和y＝logaxB的图象画在同一平面直角坐标系中，可以是()图3－5－3A．①②B．①③C．②③D．③④考点2函数图象的变换图3－5－4关于下列函数的图象说法错误的是()A．(1)是f(x－1)的图象B．(2)是f(－x)的图象C．(3)是f(|x|)的图象D．(4)是|f(x)|的图象例2：①已知f(x)＝x＋1，x∈[－1，0，x2＋1，x∈[0，1]，如图3－5－4，则解析：先作f(x)＝x＋1，x∈[－1，0x2＋1，x∈[0，1]的图象，向右移动1个单位得f(x－1)的图象；作关于y轴的对称图形即得f(－x)的图象；去掉y＝f(x)在y轴左边的图象，作与右边对称的图象，即得到f(|x|)的图象；将y＝f(x)在x轴下边的图象翻上去(关于x轴对称)，即得到|f(x)|的图象．答案：D②(2011年广东深圳一模)若实数t满足f(t)＝－t，则称t是函数f(x)的一个次不动点．设函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝ex的所有次不动点之和为m，则()A．m0B．m＝0C．m1D．0m1B解析：函数f(x)＝lnx的图象与直线y＝－x有唯一公共点(t，－t)，ex＝－x⇔x＝ln(－x)⇔x＝－t，即函数g(x)＝ex与直线y＝－x有唯一公共点(－t，t)，故两个函数的所有次不动点之和为m＝t＋(－t)＝0，故选B.【互动探究】2．将函数y＝2x的图象按向量a平移后得到函数y＝2x＋6的图象，给出以下四个命题：①a的坐标可以是(－3,0)；②a的坐标可以是(0,6)；③a的坐标可以是(－3,0)或(0,6)；④a的坐标可以有无数种情况．其中真命题的个数是()DA．1B．2C．3D．4考点3利用图象判断根的分布例3：(2011年全国)函数y＝1x－1的图象与函数y＝2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8解析：图象法求解．如图3－5－5.y＝1x－1的对称中心(1,0)也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，－2≤x≤4它们的图象在x＝1的左侧有2个交点，则x＝1右侧必有2个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，则x1＋x4＝x2＋x3＝2，所以选B.B图3－5－5【互动探究】3．(2011年全国)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()AA．10个B．9个C．8个D．1个解析：由题意做出函数图象如图D7，由图象知共有10个交点．图D7思想与方法4．分类讨论与数形结合思想在函数中的应用(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在x＝－2处取得极值，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．例题：已知函数f(x)＝13x3＋mx2，其中m为实数．(1)函数f(x)在x＝－1处的切线斜率为13，求m的值；x(－∞，－2m)－2m(－2m,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增解析：(1)f′(x)＝x2＋2mx，f′(－1)＝1－2m.由1－2m＝13，解得m＝13.(2)f′(x)＝x2＋2mx＝x(x＋2m)．①当m＝0时，f(x)＝13x3，在(－∞，＋∞)上单调递增．②当m0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，0)0(0，－2m)－2m(－2m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)．③当m0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．综上，当m＝0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)；当m0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)；当m0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．(3)由题意f′(－2)＝0，解得m＝1.所以f(x)＝13x3＋x2.由(2)知f(x)在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上递增，在(－2,0)上递减，所以f(x)极大＝f(－2)＝43，f(x)极小＝f(0)＝0.三次函数问题一般利用导数：①f′(x)＝x2＋2mx＝x(x＋2m)＝0有两根，x1＝0，x2＝－2m，求单调区间需要知道0与－2m的大小，因此需要分类讨论；②直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，需要作出y＝f(x)的图象(大致图象)，因此必须求出单调区间和极值，然后作y＝f(x)的草图．如图3－5－6，要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，只需0a43.图3－5－61．函数图象是函数的一种重要表示形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了形的直观性，是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．2．函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图．(1)作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法．(2)识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质．(3)用图是利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现．作函数图象时，要注意函数的定义域、端点的虚实等问题；图象变换时，要注意变换的顺序，否则容易得出错误的结论．