考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域.2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值;或以最值为载体求参数的范围,并能解决实际生活中的一些优化问题.第4讲函数的单调性与最值1.函数的单调性的定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A,如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有__________,那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为y=f(x)的______________;如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有________,那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为y=f(x)的____________.单调增区间f(x1)f(x2)单调减区间f(x1)f(x2)2.用导数的语言来描述函数的单调性设函数y=f(x),如果在某区间I上___________,那么f(x)为区间I上的增函数;如果在某区间I上____________,那么f(x)为区间I上的减函数.f′(x)0f′(x)03.函数的最大(小)值设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有____________恒成立,那么称f(x0)为y=f(x)的最大值;如果存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有___________恒成立,那么称f(x0)为y=f(x)的最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A.k-1.函数y=x2-6x的减区间是()DA.(-∞,2]C.[3,+∞)B.[2,+∞)D.(-∞,3]2.函数y=(2k+1)x+b在实数集上是增函数,则()A12B.k-12C.b0D.b03.已知函数f(x)的值域是[-2,3],则函数f(x-2)的值域为()DA.[-4,1]C.[-4,1]∪[0,5]B.[0,5]D.[-2,3]单调减区间是______________.[0,+∞)5.指数函数y=(a-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为________.1a24.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)是偶函数,则f(x)的例1:已知函数f(x)=x2+—(x≠0,a∈R).考点1利用定义判断函数的单调性ax(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.(2)设x2x1≥2,f(x1)-f(x2)=x21+ax1-x22-ax2=x1-x2x1x2[x1x2(x1+x2)-a],由x2x1≥2得x1x2(x1+x2)16,x1-x20,x1x20.要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数只需f(x1)-f(x2)0,即x1x2(x1+x2)-a0恒成立,则a≤16.当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解:(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数.(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调性,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论.(2)本题还可以利用导数求解:f′(x)=2x-ax2,要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数,只需当x≥2时,f′(x)≥0恒成立,即2x-ax2≥0,则a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,故当a≤16时,f(x)在区间[2,+∞)是增函数.【互动探究】2xx-1在区间(0,1)上1.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=的单调性.解:任取x1,x2∈(0,1),且x1x2.则f(x1)-f(x2)=2x1x1-1-2x2x2-1=2x2-x1x1-1x2-1.由于0x1x21,x1-10,x2-10,x2-x10,故f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以,函数f(x)=2xx-1在(0,1)上是减函数.考点2利用导数判断函数的单调性函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解.例2:若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减解析:函数f(x)的导数为f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.依题意应有:当x∈(1,4)时,f′(x)<0.当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7,所以a的取值范围是[5,7].【互动探究】+mf(x)0恒成立,则实数m的取值范围是_________.m-12.(2010年天津)设函数f(x)=x-1x,对任意x∈[1,+∞),f(mx)解析:已知f(x)为增函数且m≠0,所以2mx2<1+m2m.显然m0时不符合题意.则m0,即有1+1m22x2.因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+1m2<2,即m21,解得m-1.考点3函数的最值与值域例3:求下列函数的值域:(1)y=3x+2x-2;(2)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2);(3)y=x2-xx2-x+1;(4)y=x+4x.程,用判别式可求值域,也可把函数解析式化成A+(A,解题思路:关于x的一次分式函数,可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域,也可以经过变形(分离常量),观察得出结果;关于有理分式函数,去分母化成关于x的二次方Bx2-x+1B是常数)的形式来求值域;可用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程,用判别式求函数的值域.解析:(1)方法一:y=3x+2x-2=3x-6+8x-2=3+8x-2,由于8x-2≠0,∴y≠3.∴函数y=3x+2x-2的值域是{y|y∈R且y≠3}.方法二:由y=3x+2x-2,得x=2y+1y-3.∴y≠3.(2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,x∈[-5,-2],∴其图象是开口向下,顶点为(-1,4).∴当x=-5时,ymin=-12.当x=-2时,ymax=3.∴y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是[-12,3].(3)方法一:y=x2-xx2-x+1=1-1x2-x+1.∵x2-x+1=x-122+34,∴-13≤1-1x2-x+11,即-13≤y1.故值域为-13,1.方法二:去分母,整理得(y-1)x2-(y-1)x+y=0.易知y≠1,故上式可看作是关于x的二次方程.∵x∈R,∴方程有实根.∴Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0.解得-13≤y≤1.又y≠1,故值域为-13,1.(4)方法一:函数y=x+4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时的最值,即可知x<0时的最值.当x>0时,y=x+4x≥2x·4x=4,等号当且仅当x=2时取得.当x<0时,y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).方法二:任取x1,x2,且x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2x1x2-4x1x2,∴当x≤-2或x≥2时,f(x)递增.当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)极大值=f(-2)=-4;x=2时,f(x)极小值=f(2)=4.∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).常用的求值域的方法有:①代入法:适用于定义域为有限集的函数.②分离系数法:若函数y=f(x)解析式中含有|x|,x2,x,sinx,cosx等元素,又能用y表示出来,则利用这些元素的有界性解出y的范围.③配方法:适用于二次函数类的函数.④反函数法:适用于形如y=ax+bcx+d类的分式函数.⑤判别式法:适用于形如y=ax2+bx+cmx2+nx+p类的函数.⑥换元法:主要处理一些根式类的函数.⑦不等式法:借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值.⑧最值法:通过导数法求出最值.【互动探究】3.求下列函数的值域:(1)y=3x+25-4x;(2)y=-x2+x+2;(3)y=3x2-1x2+2.解:(1)y=3x+25-4x=14×12x+85-4x=14×34x-5+235-4x=-34+2345-4x.∴值域为yy≠-34.(2)y=-x2+x+2=-x-122+94.∴值域是-∞,94.(3)由y=3x2-1x2+2可知,x∈R且(3-y)x2=2y+1,当y=3时,显然不成立.∴y≠3,得:x2=2y+13-y.∵x2≥0,∴2y+13-y≥0.解得:-12≤y<3.∴函数值域为y∈-12,3.易错、易混、易漏6.求函数的单调区间时没有考虑定义域例题:(2010年广东珠海北大希望之星实验学校)函数f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是()A.(0,4)B.(0,2)C.(2,4)D.(2,+∞)正解:由4x-x20得0x4,又由u=4x-x2=-(x-2)2+4知函数u在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是(2,4).故选C.【失误与防范】易忽略x需满足4x-x2>0这个条件.C求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域.有的函数既无最大值也无最小值,如y=—.2.并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最小值,如y=-x2;有的函数只有最小值而无最大值,如y=x2;1x1.在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确.如函数f(x)=1x的单调减区间为-∞,0和0,+∞,而不能表述为-∞,0∪0,+∞.