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数学A（理）45分钟阶段测试(十八)第十三章推理与证明、算法、复数2345678910123456789101一、选择题1.“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是()A.演绎推理B.归纳推理C.类比推理D.以上均不对解析“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，从金、银、铜、铁等都是金属，归纳出一切金属的一个属性：导电，此推理方法是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理.B345678910122.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1,(2)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于()A.nB.n＋1C.n－1D.n2解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.A245678910133.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A.假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B.假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C.假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D.假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确24567891013解析根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确；故选B.答案B235678910144.执行下面的程序框图，若输出结果为12，则输入的实数x的值是()A.32B.14C.22D.2解析分析程序框图，可知：该程序的作用是计算分段函数y＝log2x，x1，x－1，x≤1的函数值.23567891014当x1时，若y＝12，则x＝2，当x≤1时，若y＝12，则x－1＝12，x＝32不合题意.答案D234678910155.已知＝b＋i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a＋b等于()A.－1B.1C.2D.3a＋2ii解析方法一由a＋2ii＝b＋i得a＋2i＝－1＋bi，所以由复数相等的意义知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，方法二由a＋2ii＝b＋i得－ai＋2＝b＋i(a，b∈R)，则－a＝1，b＝2，a＋b＝1.B23457891016二、填空题解析∵3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，∴可猜测：1＋12＋13＋…＋12n－1n2(n∈N*).1＋12＋13＋…＋12n－1n26.观察下列不等式：112，1＋12＋131,1＋12＋13＋…＋1732，1＋12＋13＋…＋1152,1＋12＋13＋…＋13152，…，由此猜测第n个不等式为________________________(n∈N*).234568910177.设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz＝________.解析设z＝x＋yi，其中x、y∈R，则z＝x－yi，∴x＋yi＋x－yi＝4，(x＋yi)(x－yi)＝8.即2x＝4，x2＋y2＝8，解得x＝2，y＝±2.∴z＝2＋2i或z＝2－2i.23456891017当z＝2＋2i时，zz＝2－2i2＋2i＝2－2i22＋2i2－2i＝－8i8＝－i，当z＝2－2i时，zz＝2＋2i2－2i＝2＋2i22＋2i2－2i＝8i8＝i.答案±i234569101788.运行右面的程序，输出的值为__________.S＝0i＝1WHILES18S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINTiEND解析由于循环体是先执行S＝S＋i，再执行i＝i＋1，然后进行判断，当S＝1＋2＋3＋4＋5＝15时，执行i＝5＋1＝6，这时1518成立，再循环一次S＝15＋6＝21，i＝6＋1＝7，这时再判断2118不成立，于是执行“PRINTi”，即i＝7.723456781019三、解答题9.在复平面内，复数z＝a2－a－2＋(a2－a－12)i(其中a∈R)对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.解复数z在复平面内对应的点为Z(a2－a－2，a2－a－12)，∵点Z在第四象限，则a2－a－20，a2－a－120，解不等式组得－3a－1或2a4.即a的取值范围是(－3，－1)∪(2,4).2345678911010.如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，证明不等式：(1＋x)n1＋nx.证明①当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x21＋2x＝右边，∴n＝2时不等式成立.②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，23456789110即(1＋x)k1＋kx，当n＝k＋1时，因为x－1，所以1＋x0，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x，而右边＝1＋(k＋1)x，所以左边右边，原不等式成立.根据①和②，原不等式对任何大于1的自然数n都成立.