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第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用[微题型1]运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题【例1－1】设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.解f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1＝1－sin2x＋sinx＋a－1＝－sinx－122＋a＋14.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝12时，函数有最大值f(x)max＝a＋14，当sinx＝－1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.因为1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤174且f(x)min≥1，即a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4，所以a的取值范围是[3，4].探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.[微题型2]运用函数与方程思想解决数列问题【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列.(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝n2an，证明：bn≤49.(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因为a1，a2＋6，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3n.当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.将以上式子相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)，所以an－a1＝2×3×（1－3n－1）1－3＝3n－3，所以an＝3n(n≥2).又a1＝3符合上式，故an＝3n.(2)证明因为an＝3n，所以bn＝n23n.所以bn＋1－bn＝（n＋1）23n＋1－n23n＝－2n2＋2n＋13n＋1(n∈N*)，若－2n2＋2n＋1＜0，则n＞1＋32，即当n≥2时，有bn＋1＜bn，又因为b1＝13，b2＝49，故bn≤49.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an－1≤an，an≥an＋1，an－1≥an，an≤an＋1求解.(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可求解.[微题型3]运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题【例1－3】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.(1)若ED→＝6DF→，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.解(1)依题意得椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝21＋4k2.①由ED→＝6DF→知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2；由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝21＋2k.所以21＋2k＝1071＋4k2，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1＝|x1＋2kx1－2|5＝2（1＋2k＋1＋4k2）5（1＋4k2），h2＝|x2＋2kx2－2|5＝2（1＋2k－1＋4k2）5（1＋4k2）.又|AB|＝22＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为S＝12AB(h1＋h2)＝12·5·4（1＋2k）5（1＋4k2）＝2（1＋2k）1＋4k2＝21＋4k2＋4k1＋4k2≤22，当4k2＝1(k＞0)，即当k＝12时，上式取等号.所以S的最大值为22.即四边形AEBF面积的最大值为22.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二数形结合思想的应用[微题型1]运用数形结合思想解决函数、方程问题【例2－1】已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.解析H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝f（x），f（x）≥g（x），g（x），f（x）＜g（x）.H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝f（x），f（x）≤g（x），g（x），f（x）＞g（x）.由f(x)＝g(x)⇒x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x1＝a－2，x2＝a＋2.而函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8的图象的对称轴恰好分别为x＝a＋2，x＝a－2.可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示，因此H1(x)，H2(x)的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分)可见，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a.从而A－B＝－16.答案－16探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型：①研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性.②研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性.③比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小.[微题型2]运用数形结合思想解决不等式中的问题【例2－2】若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.解析如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x2.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k(x＋2)－2过点(1，22)，则k＝2.答案2探究提高不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系，故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集.[微题型3]运用数形结合思想解决解析几何中的问题【例2－3】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.解析从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12PA·AC＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而PA＝PC2－AC2＝22.所以(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.答案22探究提高在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.