一般项级数.

§3一般项级数一对交错级数11(1)nnnu0,1,2,nun定理12.11若交错级数11(1)nnnu0,1,2,nun满足条件：（1）1(1,2,)nnuun(2)lim0nnu则该级数收敛，且其和1.Su定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数11(1)nnnu0,1,2,nun满足条件：（1）1(1,2,)nnuun(2)lim0nnu则该级数收敛，且其和1.Su证:设级数的部分和数列为{},nS则211232221()(),mmmSuuuuu2123212()()().mmmSuuuuuu注意到各括号均为非负的,故21{}mS为单调减,2{}mS为单调增,且212200(),mmmSSum即221{[,]}mmSS为区间套,由区间套定理,存在唯一S,使得212limlim,mmmmSSS故{}nS收敛,即该级数收敛.定理3若交错级数11(1)nnnu0,1,2,nun满足条件：（1）1(1,2,)nnuun（2）lim0nnu则该级数收敛，且其和1.Su例6判定下列级数的敛散性111(1)nnn解：111(1)nnn为交错级数.显然111nun1nun1limlim0nnnun所以,该级数收敛.1nun定理3若交错级数11(1)nnnu0,1,2,nun满足条件：（1）1(1,2,)nnuun（2）lim0nnu则该级数收敛，且其和1.Su例6判定下列级数的敛散性:111(1)(21)(21)!nnnn解:111(1)(21)(21)!nnnn为交错级数.1(21)(21)!nunn显然11(21)(23)!nunn1(21)(21)!nunn1limlim0(21)(21)!nnnunn故该级数收敛.二绝对收敛与条件收敛若1||nnu收敛,则称1nnu绝对收敛.若1nnu收敛,而1||nnu发散,则称1nnu条件收敛.关系及有关判别法定理4若1||nnu收敛,则1nnu收敛.(绝对收敛则收敛)定理5设1nnu为任意项级数,若1||lim,||nnnuu则(1)当1时,该级数绝对收敛.(2)当1时,该级数发散.例7判定下列级数的敛散性:(1)11(1)nnn(2)21cosnnn(3)1nnxn解:(1)111(1)1nnnnn发散.11(1)nnn发散.收敛.11(1)nnn条件收敛.(2)2cosnn21n而211nn收敛.故21cosnnn绝对收敛.例7判定下列级数的敛散性:(1)11(1)nnn(2)21cosnnn(3)1nnxn解:(3)nnxun1||lim||nnnuu1||lim1||nnnxnnx||xA.当||1x时,该级数绝对收敛.B.当||1x时,该级数发散.C.当1x时,该级数发散.D.当1x时,该级数条件收敛.1.级数重排自然数列{1，2，…，n，…}到它自身的映射：:()fnkn称作自然数据的重排。数列(){}knu称作原数列{}nu的重排。将(),nknvu，则可将重排后的级数写作：()11knnnnuv定理12.13绝对收敛,且其和为S,则任意重排后所得的级数也绝对收敛,并且有相同的和(相当于加法的交换律).1nnu设级数1nnv2.级数的乘积11,,nnnnuAvB11nnnnuv与乘积可能的项为设111213121222323132333123nnnnnnnnuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuv定理12.14若级数njuv按任意顺序所得的级数1nnw也绝对收敛,且其和等于AB.都绝对收敛,且其和分别为A,B11nnnnuv与则对表中所有的乘积三阿贝耳判别法与狄利克雷判别法用于级数1221nnnnnnuvuvuvuv的敛散性的判别.引理(分部求和公式，也称为阿贝耳变换)设,(1,2,,)iivin为两组实数，若令12(1,2,,)kkvvvkn则有如下分部求和公式成立121232111()()()niinnnnniv证：112211,,(1,2,,)kkkvvvkn分别乘以(1,2,,),kkn整理后就得所要证的公式以引理(分部求和公式，也称为阿贝耳变换)设,(1,2,,)iivin为两组实数，若令12(1,2,,)kkvvvkn则有如下分部求和公式成立121232111()()()niinnnnniv证：112211,,(1,2,,)kkkvvvkn分别乘以(1,2,,),kkn整理后就得所要证的公式以推论(阿贝耳引理)若12(),,,ni是单调数组；(1)|,kknAk有|则记max{||}kk时，有1||3nkkkvA（ii）对任一自然数121232111()()()niinnnnniv推论(阿贝耳引理)若12(),,,ni是单调数组；(1)|,kknAk有|则记max{||}kk时，有（ii）对任一自然数1||3nkkkvA证：由（i）知道12231,,,nn都是同号的．121232111|||()()()|nkknnnnnkv12231|()()()|||nnnAA1||||nnAA1(||2||)3nAA于是由分部求和公式及条件(ii)推得三阿贝耳判别法与狄利克雷判别法用于级数1221nnnnnnuvuvuvuv的敛散性的判别.1.阿贝尔判别法:定理12.15若{}na为单调有界数列，nb收敛，则级数(A)收敛．且级数(A)证由于级数nb收敛，依柯西准则，对任给正数,存在正数N，使得当nN时及任一自然数p，都有||npkknb又由于数列{}na有界，所以存在M0，使得||,naM应用阿贝尔引理结果可得到||3npkkknabM由级的柯西收敛准则知该级数收敛1.阿贝尔判别法:定理12.15若{}na为单调有界数列，nb收敛，则级数(A)收敛．且级数例1nnu判断下列级数的敛散性:11(1)(0),(2)1nnpnnuupnn若级数收敛,2.狄利克雷判别法{}na单调递减，且lim0nna又级数nb的部分和有界，则级数（A）收敛.定理12.16若数列例若数列{}na具有性质：12,lim0nnaaa讨论级数sin,cosnnanxanx的敛散性.{}na单调递减，且lim0nna又级数nb的部分和有界，则级数（A）收敛.定理12.16若数列例若数列{}na具有性质：12,lim0nnaaa讨论级数sin,cosnnanxanx的敛散性.解因为112sin(cos)223111sin(sinsin)[sin()sin()]sin()222222nkxkxxxxnxnxnx当(0,2)x时，sin0,2x故11sin()12cos2sin2nknxkxx所以，当(0,2)x时，cosnx有界，由狄利克雷判别法得级数sinnanx收敛.cosnanx收敛。同理可证：