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第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集教学设计相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式与不等式的差异与共性,掌握基本不等式。【教学目标】1、掌握等式的性质.2、掌握几个重要的恒等式.3、掌握因式分解中的十字相乘法.4、规范方程的解集的书写.【核心素养】1、数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。2、逻辑推理:通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。3、直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解4、数学运算:掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。5、数据分析:例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。【教学重点】1、掌握等式的性质与与重要恒等式.2、会正确写出方程的解集.【教学难点】1、能利用十字相乘法正确写出式子的因式分解。回顾初中所学的等式和方程知识，在高中如何用集合来表示解集。一、等式的性质【新课讲授】我们已经学习过等式的性质：（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。【尝试与发现】因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.二、恒等式【尝试与发现】【新课讲授】如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式对任意实数都成立，而等式只是存在实数使其成立.例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2，由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.【典型例题】例1化简(2x+1)2-(x-1)2.解（方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项,即用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果a=b，则对任意c，都有；（2）如果a=b，则对任意不为零的c，都有.补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：(1)a2-b2=（平方差公式）；(2)(x+y)2=（两数和的平方公式）；(3)3x-6=0；(4)(a+b)c=ac+bc；(5)m(m-1)=0；(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x(方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x+1)][(2x+1)-(x+1)]=3x(x+2)=3x2+6x下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+ab.这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=.【尝试与发现】上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).证明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.三、方程的解集【新课讲授】我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5，然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}.不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0.利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程(4x+1)(x-1)=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=-或x=1，因此方程(4x+1)(x-1)=0的解集为{-,1}.【典型例题】例2求方程x2-5x+6=0的解集.解因为x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0，从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}.例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0的形式,那么就能方便得得出原方程的解集了.【思考与辨析】例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.【尝试与发现】解当a≠0时,在等式ax=2的两边同时乘以a1,得x=a2,此时解集为{a2}.一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=a2吗?为什么?314141当a=0时,方程变为0x=2,这个方程无解,此时解集为∅.综上,当a≠0时,解集为{a2};当a=0时,解集为∅.本节内容为回顾初中解方程内容,注意解题格式规范书写.