北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系法门高中姚连省制作北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数方法=n2-4mp12222byax例1：直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解:∵椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121(1)()4ABxxxxxxkk1211yy2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例3:(课本例7)已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm思考3:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.2212016xy分析:∵椭圆的焦点为(2,0),(2,0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.变式练习在以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点，过直线x+y-9=0上一点M的椭圆中，使|MF1|+|MF2|的值最小的椭圆方程为２、弦长公式：设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝,其中k是直线的斜率2121||kxx１、判断直线与椭圆位置关系的方法：解方程组消去其中一元得一元二次型方程△0相离△=0相切△0相交３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”小结