一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1、知识技能：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。2．过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会。3．情感态度价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力。教学重点：一元二次方程根与系数的关系教学难点：韦达定理的论证教学时数：1课时教学过程：一、复习1、一元二次方程的一般式？（板书）0(02acbxax，)042acb2、一元二次方程有实数根的条件是什么？（)042acb3、acb42＞0，即△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样？4、一元二次方程的求根公式二、引入由求根公式可知，一元二次方程的根由系数a、b、c确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系。思考填表（幻灯）解出下列各方程的两根1x和2x，并计算21xx和的值。方程1x2x21xx21xx2x2+7x+3=03x2+5x+2=02x2+3x-1=0三、新授师：谁能发现两根和、两根积与系数的关系？（两根和由一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数得到；而两根和是由常数项除以二次项系数所得）（板书）若0(02acbxax，)042acb，（假设成立）则abxx21，acxx211、论证韦达定理师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？（板书）证明：当△＞0时，由求根根式得：aacbbx2421，aacbbx2422∴abaacbbacbbxx2442221acaacaacbbxx222221444)4()(当△=0时，abxx221即abababxxacb224212acaacabababxx2222144422师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的。2、巩固练习（幻灯片）口答：说出下列各方程的两根和与两根积（1）x2-2x＋1=0（2）x2-9x+10=0（3）2x2-9x+5=0（4）4x2-7x+1=0（5）2x2-5x=0（6）x2-1=0(1)验根：（幻灯片）利用根与系数的关系，判断下列各方程后面括号内的两个数是不是该方程的根？（抢答形式）1）)7,1(0762xx2）)1,3(01322xx3）)32,35(02532xx4）)54,54(01182xx（2）已知方程一根，求另一根。3例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。方法（一）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，∴5×22+k×2-6=0∴k=-7∴原方程可变为5x2-7x-6=0解此方程。X1=-3/5,x2=2方法（二）设方程的一根为x1=2,另一根为x2,那么2+x2=-5k2x2=-564.推论如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=-p,x1x2=q例、不解方程，求方程两根的和与两根的积：(1)X2+3x-1=0(2)2x2-4x+1=05.练习（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？①x2-3x+1=0②3x2-2x=2③2x2+3x=0④3x2=1（2）已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。（3）设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程，求下列各式的值:①(x1+1)(x2+1)②x2/x1+x1/x2（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：①4,-7②1+3，1－3（5）已知两个数的和等于-6,积等于2求这两个数师：利用根与系数关系可以验根，满足abxx21，acxx216、思考题：已知方程0532mxx的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值。四、小结今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积，而且可以验算所求的根是否正确，更重要的是利用韦达定理可以简捷地解决许多有关一元二次方程的问题。五、作业：教材习题22.2第7题.【教学设计】为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段引入部分通过实例，这样能让学生有一个感性的认识。能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力