悬垂带钢垂度计算分析

带钢垂度计算公式分析冷轧带钢生产中的各种处理机组中大量使用悬垂式加热炉、卧式活套、工艺处理槽和支撑辊等设备，在这些设备中，带钢处于悬垂状态并在这种状态下运行。当带钢处于悬垂状态时，由于本身的重力作用，呈现在两端支撑处为高位，中间部位下垂的弧线形状。在这时由于带钢大部分为悬空，与设备的接触很少，可以大大减少各种设备对带钢的污染，保证处理的带钢非常清洁，提高带钢的质量。但是，带钢的下垂将产生与其它设备或建筑物碰撞的风险。为了防止这个问题出现，一般在两端的支撑点对带钢施加一定的张力，而由于带钢承受张力不能超过其本身的强度极限，因此需要控制带钢的垂度。带钢垂度控制包括施加适当的张力，控制带钢两个支撑端的间距和加大下垂空间，而其最关键的部分是准确计算带钢的下垂高度即垂度。带钢在悬垂状态时的曲线为悬链线，悬链线的直角坐标公式为：其中a是一个常数，称作悬链系数，cosh是双曲函数之一。对于悬链系数a，主要反映了曲线下垂的程度，数值越大、则下垂的程度越小，曲线拉长的程度越大。不同的悬链系数对应的曲线图形如下：公式的简要推导如下：如图所示：带钢悬垂的最低点处受水平向左的拉力H，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，带钢一半的质量为m，受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，并且对于绳上任意一点有：tanθ=dxdy=Hmg；mg=ws；其中s是右半段带钢的长度，w是带钢的单位重量，带入得微分方程dxdy=Hws；利用弧长公式ds=2)(1dxdy*dx；所以s=∫2)(1dxdy*dx；把s带入微分方程得dxdy=Hw∫2)(1dxdy*dx；.....(1)对于(1)设p=dxdy微分处理得p'=Hw*21p......(2)p'=dxdp；对（2）分离常量求积分，∫1/21pdp=∫Hw*dx，得：ln（p+21p）=Hwx+C当x=0时，dxdy=p=0；带入得：C=0；即：ln（p+21p）=Hwx；整理得：1+p2=e)/2(Hwx-2pe)/(Hwx+p2；即：p=[e)/(Hwx-e)/(Hwx]/2=dxdy；对dy求积分得：y=wH2*[e)/(Hwx+e)/(Hwx]；如果令a=H/w的话，代入可得：y=a*（eax/+eax/）/2=acosh(ax)。除了计算垂度之外，还需要计算带钢的实际长度。特别是对带钢进行跟踪时，必须计算带钢的精确长度，否则有可能出现跟踪错误的问题。带钢长度计算公式可由弧长公式积分得到：dxdy=a[)(coshaxdxd]=sinhaxdxaxdxdxdys22)(sinh1)(1=dxaxcosh所以带钢长度的计算公式为：axassinh由此式计算的是悬垂带钢长度的一半。工程上一般采用L表示带钢的长度，L=2asinh(ax)；此外如果以F0表示带钢最低点处的水平张力（即F0=H=aw），以θ表示带钢各点的切线水平夹角，由tanθ=dxdy=awws得出Tanθ=sinh(ax)F0=aw用上述公式即能计算出悬垂带钢任意点的张力。工程计算中使用双曲函数不方便，因此也采用抛物线公式计算。相应的垂度计算公式为：28lFwy；式中：l为悬垂带钢两端支点的距离。此公式实际是悬链线公式的简化，下面给出证明：由双曲函数的泰勒展开式：sinh=120)!12(1nnxn=33xx…cosh=421)!2(14220xxxnnn…略去3次以上幂的项代入垂度计算公式，考虑到带钢垂度很小时，悬链系数a的数值较大，相应的θ很小可以认为cosθ≈1，带钢张力F=F0,且：wFa0≈wF，可得：)21()](21[2222xFwFwxwFy，因为x=l/2,式中：l为悬垂带钢两端支点的距离，代入上式可得：228])2(21[lFwlFwy。但是用抛物线简化长度计算公式是不可取的，教科书中的计算公式如果用于带材跟踪精度不够，如果用于设计计算则不如直接采用支点距离方便。