初中数学中常用的求线段的长度的方法

课例研究2582013年第30期初中数学中学习的是平面几何，平面是由线构成的，线动就成面了，所以线段的长度的变化，影响了图形的大小，形状。几何图形中的计算题是初中数学中常见题型，一直是数学中考中的必考题型，求线段的长度正是这类计算题中的典型代表。纵观近年来的中考试题，不难发现，这类试题的命制均立足教材，解决途径都是运用转化的思想方法。要求学生自己猜想、探究、发现。我在多年的初中教学中，特别是初三数学教学中，总结了几种常用的求线段的长度的方法。一、当一条线段上有多条线段时1、利用观察图形的方法，直观地求线段的长度。当点把一条线段分成几条线段时，可以直观地观察图形，找出已知线段与未知线段的和差的关系，从而求出线段。例1、已知如图，线段AB=10，点C在线段AB上，且AC=3，求BC的长。这题就可以直观地观察图形，找出未知线段BC=已知线段AB-已知线段AC，从而求出。2、利用线段中点的定义，求线段的长度。当有线段中点出现时，可以考虑运用线段中点的定义。把例1变式为点C为线段AB的中点，线段AB=10，求BC的长。这题可以运用线段中点的定义可以得出BC等于AB的一半，从而求出。3、利用数形结合的方法，用列方程的方法求线段的长度。把例1变式为点C、D为线段AB上的点，把AB分成2：3：5三部分，线段AB=10，求线段AC、CD、DB的长度。本题通过观察图形，找出线段之间的相等关系，AC+CD+DB=AB，正确设元，设AC=2x，CD=3x，DB=5x.从而列方程求解。本类题型，通过观察图形的方法，正确找出已知线段与未知线段的关系，正确求出线段的长度。二、当所求线段是三角形的边元素时1、利用直角三角形的性质勾股定理求解。直角三角形中的一个常用定理——勾股定理，勾股定理是极其重要的定理，它是沟通代数与几何的桥梁，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，应用十分广泛。是用来求线段的长度的基本方法。可以知道直角三角形的任意两边的长度，求第三边的长度。例2：在Rt△ABC中，∠C=90O，AB=10，BC=6，求AC的长。分析：这题已知直角三角形的一条斜边和一条直角边，求另一条直角边，就可以运用勾股定理。利用勾股定理求线段的长度关键是构健出直角三角形，再找出所求的线段是这个三角形的直角边还是斜边，或者它们的关系，就可以利用勾股定理求出所要求的线段长度。2、利用等腰三角形的性质三线合一求解。等腰三角形是特殊的三角形，比较常见，它有一个重要性质——三线合一，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，这个性质非常常见，经常用来构建直角三角形，从而用勾股定理求线段的长。如把例2变式为已知△ABC中，AC=BC，AB=10，BC=6，求AB边上的高。分析：这题首先作出等腰三角形底边上的高，构建直角三角形，利用等腰三角形的性质三线合一求出底边的一半，就可以利用勾股定理求出所要求的高。3、利用锐角三角函数求解。也可以用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长度。解直角三角形的应用是初中新课标数学教材的主要内容之一，用解直角三角形的知识解决实际问题可以说是学习解直角三角形知识的目的和归宿。通过引导学生构造出直角三角形，然后用直角三角形的知识解决问题，来发展学生应用数学知识分析问题、转化问题、解决问题的意识和能力。因为直角三角形中，知道两个元素，其中至少有一个是边元素时，即可以求这个直角三角形的另外三个未知元素。例如：北师大九年级下册P13，知识技能第3题。如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB=120°，AB=54，求SD的长。分析：因为三角形SAB是等腰三角形的高，由等腰三角形三线合一的性质得：SD也是底边AB的中线，顶角∠ASB的平分线，从而可得：AO=AB=×54=27，∠ASO=∠ASB=×120°=60°，则解直角三角形SAO，用cos∠ASO即可求出SO的长。利用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长，关键是正确地找出已知元素，正确地选择三个三角函数中的那个三角函数去解题，从而正确地解决问题。4、利用证明结果求解。有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍量关系，而其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段长。如两个三角形全等，对应边相等，把要求的线段转化为与它相等的线段。这种方法适用于要求的线段是一个三角形的边元素，而与之对应的另一个三角形与这个三角形全等，所求的线段刚好是与之所在三角形全等的三角形的对应边，从而可求。如佛山2009年中考试题18题。如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，若CE=10cm，求DF的长度。分析：因为通过观察图形可以发现，要求的线段DF是△DCF的边元素，已知线段CE是Rt△（转下页）初中数学中常用的求线段的长度的方法张凤英（广东省佛山市三水区六和中学广东佛山528144）【摘要】初中数学中学习的是平面几何，平面是由线构成的，线动就成面了，所以线段的长度的变化，影响了图形的大小，形状。几何计算题是初中数学中常见题型，这类问题的求解要求学生自己猜想、探究、发现。我在多年的初中教学中，特别是初三数学教学中，总结了几种常用的求线段的长度的方法。【关键词】初中数学；线段的长度；几何计算题；三角形全等；常用的；直角三角形；勾股定理；锐角三角函数；相似三角形【中图分类号】G633.6【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2013）30-0258-0212121212课例研究2592013年第30期（接上页）CBE的边元素，它们刚好是对应边，用“AAS”能证明这两个三角形全等，从而可以求出DF的长度。要利用三角形全等的方法求线段的长度，关键是观察图形发现所求的线段和已知线段分别是哪两个三角形的对应边，从而找寻出证明这两个三角形全等的方法即可解决问题。5、利用相似三角形求解。相似三角形具有对应边成比例的性质，当要求的线段刚好是某个三角形的边元素，而刚好能够找出有另一个三角形与之相似，这两个相似三角形中刚好能够找出成比例的线段中有三个已知元素，另一个未知元素刚好是要求的线段，即可用相似三角形对应边成比例，列出等式，从而计算出这条线段的长度。例如：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD//CO，AB=2，BC=，求AD的长。分析：所求线段AD是△ABD中的边元素，还已知一元素AB，另一已知元素BC是△OCB的边元素，又因为AB为⊙O直径。所以可知第一边OB=AB=×2=1，∠ADB=90°。BC是⊙O的切线，也可知道∠OBC=90°，由勾股定理即可以求出OC的长度。通过AD//OC，可得∠A=∠COB，即可以证得△ABD∽△OCB，从而推导出，这个等式中只有一个未知量AD，即可以求出。利用相似三角形对应边成比例是求线段长度的常见方法，关键是找出所求线段和已知线段是哪两个三角形的边元素，再找寻出证明这两个三角形相似的方法，问题即可以解决。6、利用列方程求解有相当一部分题目，我们没办法直接求出答案，尽管由已知条件可以求出一系列可求的量，但包括未知线段在内仍有两条以上的线段无法求出，这时应去寻找线段之间的关系，这些关系往往由勾股定理、相似三角形的比例式、三角函数等得到的等式，接下来设出未知数，问题也就解决了。例如，北师大九年级下册P99的例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥EF，垂足为F，EF=900m，求这段弯路的半径。这题要求的半径OC就是Rt△OCF的边元素，但OF也是未知数，但它可用含半径的代数式表示。即设OC=Rm，则OF=（R-90）m由勾股定理得：OC2=OF2+CF2，而R2=（R-90）2+（）解得：R=545m结束语：总之，求线段的长度还有其它的一些方法，这几种方法只不过是平常较为常用的方法，在遇到类似问题时，多引导学生总结，归纳，具体情况具体分析，灵活运用数学思想方法来解决问题。2ADOBABOC=60021212【事件背景】：学校在创建美丽校园，校园卫生和学生良好习惯的养成是美丽校园建设中的一个很重要的抓手。学校利用晨会、早操集会等各种场合对学生进行宣传教育，同时加强了教师巡视的力度，对校园内发生的不文明的现象进行劝导教育。【事件描述】2013年5月3日中午巡视校园，发现三楼干净的楼梯上横躺着一个踩瘪了的可乐瓶，非常刺目。于是我拿起空瓶，走向三年级，因为楼上只三年级一个班。推开三年级大门，学生看见老师手里拿着可乐瓶，立即将矛头指向一个人——王家豪。并纷纷围过来争相述说王家豪是如何不听同学劝告，又是如何将可乐瓶扔到楼梯并踩瘪的。听罢，不由火冒三丈，晨会刚说要创建美丽校园，不准乱扔垃圾，转眼就犯，还在众目睽睽这下。我走到王家豪面前，严厉呵道：谁让你扔的，你还像个少先队员吗？只见王家豪低着头，一声不吭地抽噎起来。看到他哭，我以为他认识到自己的错误，批评、开导了几句，让其将我手中的空瓶扔到垃圾桶便离开了教室。不曾想，还没下三楼，班里就炸开了锅，我只得转身去看个究竟。原来王家豪早已由抽噎变成了嚎啕大哭。更有好事者，围在我身边，边说边比划：老师，您刚下楼王家豪就将空瓶狠狠地扔到垃圾桶边，还用他的拳头“轰”的一声，狠狠地捶在课桌上，然后就大哭了起来。我当时就懵了，现在小孩怎么了，脾气这么大，是我弄错了，不对呀，事实清楚，且多人为证。看着仍在嚎啕大哭的王家豪及身边起哄的一群小刺头，为了尽快平息班里乱哄哄的情况。我也用手在讲桌上狠狠地拍了一下：“都给我老老实实回到座位上去，王家豪，你脾气不小呀，谁让你拍桌子的，做了错事还敢发脾气，以为在家呢？还有你们，王家豪乱扔垃圾，你们不能随手捡起来再告诉老师吗？同学做了错事，你们不帮他改正也罢，还在这起哄，看笑话，唯恐天下不乱吗？”班里立刻静了下来，只剩王家豪一个人还在抽噎。“现在你们给我听好了，谁也不许起哄，让他哭个够。王家豪，你也给我听好了，这不是你家，想怎么样就怎么样，现在我让你哭个够，放学前到我办公室给我说清楚，要不想上学回家叫你爸把你领回去”，说完我转身走出教室，留下一个越来越小的抽噎声。下午快放学时，我将王家豪叫到了办公室，他低着头，一进办公室就跟我道歉：“老师，我错了”。这时我没有再批评他，只是简单地跟他谈了几句，告诉他事情已经过去了，以后注意点。【案例分析】一、教师要善于控制自己的情绪，做到收放有度学校突发事件，像乱扔垃圾之类，虽然人证物证齐全，但要学会控制自己的情绪。本案例中，本人第一次与学生接触，虽很生气，但在感觉学生似乎是认识到错误时，态度立马有了转变，简单处理，不使问题复杂化。第二次接触由于当时场面乱哄哄，为了尽快恢复秩序，本人很果断地利用教师的威严、严厉的语气、果断的拍桌，使班里的秩序得到恢复。同时通过冷处理的手段，让学生冷静下来再处理。毕竟人冲动时，有时会不太理智，这时谈话也许要费力，事情过后，冷静下来想想，学生自己也会反省到自己的错误，因为他们是有一定的是非观念的。二、让独生子女挫折中受到教育现在的家庭，独生子女居多，生活中，部分家长对独生子女施以溺爱的教育方式（尤其以隔代教育为甚）。他们视孩子为掌上明珠，一味地娇惯宠爱，孩子要风得风，要雨得雨，稍不如意便生气发脾气。本案例便是典型的独生子女遇到不顺心的事，大发雷霆，耍脾气，只是他忘了这是在学校。对于这样的学生，学校绝对不能姑息，当以雷霆手段将其制止。对于已经养成爱发脾气等不良习惯的孩子，要让他们在挫折中得到教育，不能万事都顺着他们，一定要坚持原则。三、学生需要爱的教育《学记》中说：“亲其师，信其道。”无论教师还是家长，我们要习惯去倾听孩子的声音，我们更需要弯下腰，从孩子的角度去看问题。本案例中主人翁因为自己犯了一点小错，就被同学们耻笑，一时冲动就拍桌子打板凳大哭大闹。我们大人的行为，有时看似没问题，但放在孩子的角度，他们认为自己受到不公正的待遇，所以发泄情绪。这也与孩子们平时在家常被迁就、姑息有关。因此，我们给学生的爱应当是科学的，爱而不宠，养爱不娇。相信我们用全身心的爱投入到孩子的教育之中，定能获得丰收。一个可乐瓶引发的事件朱华（安徽省铜陵县