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1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大（1）：根据已知条件可知，可得出三个全等的等边三角形。即OCD\OAB\OBC在三角形CDA中，O是AD的中点，CD=OC=1/2AD,所以三角形DCA是特殊直角三角形，角CAD＝30度。所以角BAC也得30度，角DBA是直角，所以角AEB=60度。（2）：只要证明三角形OBC与三角形OBD全等即可。条件为“边角边”即：OA=OBOC=OD角AOC=角BOD(提示：角BOC是它们的公共角)当证出两个三角形全等后，即可得出角OBD=角OAC,而在原等边三角形OAB中，角OAB+角OBA=60+60=120,即可推出在三角形BEA中，角EAB+角EBA=120度，故角ABE=60.结论：无论如何旋转，只要不重叠，均为60度。1.以下有4个命题:1.两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形2.两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形3.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形4.两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形。其中正确的是哪两个？2.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，连接ED，若角BDE=α,∠ADB的大小是多少（用含α的式子表示）3.△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，∠C的大小是多少？（求∠C的度数）答案：1.1和42.90°－α／23.20°如图，AB=AC。点D.E是BC的三等分点，AD=AE求证：三角形ABE全等于三角形ACD如图：AD//BC.AB//DC.MN=PQ.求证：DP=BN1∵AB=AC,点D.E是BC的三等分点,AD=AE∴BD=EC∴BD+DE=CE+DE即BE=CE△ABE≌△ACD2∵AB//DC,AD//BC∴∠MPD=∠QNB,∠M=∠Q∵MN=PQ∴MN+NP=PQ+NP即MP=NQ∴△MDP≌△QBN∴DP=BN如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证AE=DF。向左转|向右转解：因为：AE垂直于BC，DF垂直于BC所以：角CFD=角DFE=角AEB=90度所以：三角形AEB与三角形DFC为直角三角形又：CE=BF所以：CE-EF=BF-EF所以：BE=CF在直角三角形AEB与直角三角形DFC中：AB=CDBE=CF所以：直角三角形AEB全等于直角三角形DFC（HL）所以：AE=DF如图所示，A、B、C、D在同一直线上且△ABF≌△DCE求证，AF∥DE，BF∥CE，AC=BD∵△ABF≌△DCE∴∠A=∠D∴AF∥DE（内错角相等，两直线平行）∵△ABF≌△DCE∴∠ABF=∠DCE,180-∠ABF=180-∠DCE∠FBC=∠BCE∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）∵△ABF≌△DCE∴AB=CDAB+BC=CD+BC∴AC=BD如图，AB//DC，点E、F在BD上，BE=DF。求证：AE//CFAB=DC∵AB//CD∴∠ABE=∠CDF又∵BE=DF∴△ABE、△CDF全等∴∠AEB=∠DFC∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF∥AD，交AC于E，交BA的延长线于F。求证：△AEF为等腰三角形EF∥AD，所以∠F=∠BAD(同位角相等)，且∠AEF=∠CAD(内错角相等)AD平分∠BAC交BC于D，所以∠CAD=∠BAD综上，∠F=∠BAD=∠CAD=∠AEF△AEF为等腰三角形如图,已知OA=OB,AC=BD,且∠A=∠B=90°,M为CD的中点,求证:OM⊥CD证明：如图，连接OC，OD，在△AOC和△BOD中OA=OB，∠A=∠B=90°，AC=BD，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴OC=OD在等腰三角形COD中，M为CD的中点所以OM是底线的中线，也是高（三线合一）所以OM⊥CD轴对称：点(x,y)关于x轴对称点的坐标为_________,点(x,y)关于y轴对称点的坐标为__________,点(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为___________。点(x,y)关于x轴对称点的坐标为：（X,-y）点(x,y)关于y轴对称点的坐标为：(-x,y)点(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为：(2a-x,Y)说明：关键是横坐标（X，Y),(a,Y),(?,Y)三点的横坐标成等差数列，x+?=2a,?=2a-xA、B两点在直线l的同侧,点A’与A关于直线l对称,连接A’B交l与P点,设A’B=a(1)求AP+PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM+MB＞AP+PB1.AP=A'PAP+PB=A'P+BP=A'B=a2.连接BMA'AM=A'MBM+A'MAP+PB(三角形两边之和大于第三边）BM+AMAP+PB(等量代换）如图在三角形ABC中，AB=AC，DE分别在AB,AC上，且BD=DE=AE，BE=BC，你能求出角A的度数吗解：设∠DBE＝x∵BD=DE∴∠ADE=2x∵DE=AE∴∠A=∠ADE=2x∴∠BEC=∠ABE+∠A=3x∵BE=BC∴∠C=∠BEC=3x∵AB=AC∴∠ABC=∠C=3x在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°∴2x+3x+3x=180°8x=180°∴2x=45°∴∠A=45°如图，点A是BC上的一点，△ABD、△ACE都是等边三角形。求证：（1）AM=AN(2)MN∥BC（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°∵∠BAC是平角，∴∠DAE=60°∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE=60°+60°∠BAE=∠DAC=120°∴在△ABE和△DAC中﹛BA=DA﹜﹛∠BAE=∠DAC﹜＝＞△ABE≌△DAC(SAS)﹛EA=AC﹜∴∠EBA=∠CDA﹜∵∠BAM=∠DAN=60°﹜∴△BAM≌△DAN(ASA)BA=DA﹜∴AM=AN（2）证明：∵AM=AN，∠MAN=60°∴△ANM是等边三角形∴∠AMN=∠BAM=60°∴MN∥BC（内错角相等两直线平行)已知△ABC中，AB=AC∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E,求证：bf=1/2FC。连接AF∵∠BAC=120°,AB=AC∴∠B=∠C=30°∵EF垂直平分AB∴AF=BF∴∠BAF=∠B=30°∴∠CAF=90°∴AF=1/2×CF∴BF=1/2×CF1.已知直角坐标系中两点A（k，-2），B（2，t）。求下列条件下k，t的值：（1）点A，B关于x轴对称（2）点A，B关于y轴对称⑴关于X轴对称，横坐标相等，纵坐标相反。∴k=2t=2⑵关于Y轴对称，横坐标相反，纵坐标相等。∴k=－2t=－2在△ABC中，∠C为直角，BC=AC，BD是∠ABC的平分线，AE⊥BD,垂足为E，求证：BD=2AE作DE⊥AB因为DE⊥AB,BD为∠B的角平分线,所以CD=DE又因为在直角三角行ADE中,角CAB=45度,则DE=AE因为BC=BE,CD=DE=AE,所以(CD+BC)^2=(BE+EA)^2=BA^2=2BC^2则CD^2-BC^2+2CD*BC=0则BC^2+CD^2=2BC^2-2CD*BC=2(BC-CD)*BC=2AD*BC又由三角形ABD面积得BD*AE=AD*BC所以BD^2=2AE*BD则BD=2AE如图所示，已知三角形abc中，角acb=90度，d是bc延长线上的一点，e是ab上的一点，且在bd的垂直平分线eg上de交ac于f，试判断三角形aef的形状因为EM是BD垂直平分线，所以BE=DE。所以角B等于角D.又因为角ABC等于90度，所以角B加角D等于90度角D加角DFC等于90度。又因为角DFC等于角AFE,所以角A加角AFE等于90度。所以三角形AEF是直角三角形已知在数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为2，若点A与点B关于数轴上的点C对称，则点C对应的数是_____。5-2等于两点绝对距离平分为1.55-1.5=2+1.5为3.5如图，△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE，DE和BC交于点M，DM=ME，求证：△ABC是等腰三角形。解：过E作EF∥AB且交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∵EF∥AB∴∠F=∠B∵∠ACB=∠FCE∴∠F=∠FCE∴CE=EF∵BD=CE∴BD=EF在△BDM与△FEM中，∠B=∠F\\∠DMB=∠EMF\\BD=EF∴△BDM≌△FEM（AAS），∴MD=ME．在三角形ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ,PR=PS,求证：(1)AS=AR(2)PQ平行AR证明：连AP因为PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS,所以AP是角BAC的平分线，所以三角形ARP全等于三角形AQP,所以AR=AS,因为AQ=PQ,所以角PAQ=角APQ又角BAP=角PAQ所以角BAP=角APQ,所以PQ平行AR如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120堵的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。延长AB到E使BE=NC易证三角形BED全等三角形CND再证明EDM全等NDM（用SASMD=MDED=ND角MDN=角MDE因为角MDN=60角BDM+角NDC角EDB=角NDC所以角MDN=角MDE）所以EM（BE+mb)=MN既MN=BM+NC直线a、b相交于点O，点A、B关于a对称，点B、C关于b对称，OA=OB。点A、O、C在一条直线上吗？为什么？线段AB交a于D，线段BC交b于E1、那么角AOD+角A=90度，角BOD+角OBD=90度因为AO=OB所以角A=角OBA，所以角AOD+角BOD=90度2、又因为点B、C关于b对称，所以BE=CE，所以RT三角形OEB与RT三角形OEC全等（边角边），所以OB=OC，所以（证法与1相同）角BOE+角EOC=90度3、所以角AOD+角BOD+角BOE+角EOC=180度，因此AOC在一条直线上在△ABC中,AB=AC,P、Q分别是BC、AB边上的点，且AC=AP=PQ=BQ。求∠B的度数AB=BC∠B=∠BPQ=0.5∠APQ=0.5∠AQP∠C=0.5(180-∠B)=∠APC由于∠BPQ+∠APQ+∠C=180°代入解得∠B=36°如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。（1）证明：∠CAE=∠CBF（三线合一）（2）证明：AE=BF（△ACE≡△BCF）1、因为ABC是等腰三角形，且CH是高，P是CH上的一点所以AC=BC,角ACH=角BCH,CP是公共线边角边，证明三角形ACP=BCP所以角CAE=CAP=CBP=CBF2、因为角CAE=CBF,AC=BC，角ACB是公共角角边角，所以三角形ACE=BCF所以AE=BF如图,在△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:DE=EC解：∵AB=AC∴∠ABC=∠C又∵BE平分∠ABC,DE∥BC∴∠DBE=∠EBC∠DEB=∠EBC∴∠DBE=∠DEB∴DE=DB∴AB-AD=AC-AEDB=EC∴DE=EC在梯形ABCD中，AD平行BC，AD=1，BC=4,∠C=70°,∠B=40°，则AB的长为？过D做DE//AB交BC于E所以∠EDC=70BE=1EC=3=DE=AB如图，在等边△ABC中，点D.E分别在BE,AB上，且BD=AE，AD与CE交于F（1）求证：AD=CE（2）求∠DFC的度数(1)证明：因为