高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案

§2.2不等式及其基本性质预备知识数与式的基本运算数轴重点比较两个实数的大小不等式的解集难点不等式的基本性质比较式的大小学习要求了解不等式的概念，熟练应用不等式的基本性质解题1.不等式及其基本性质我们先用天平来做两个实验．实验1：在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的重量是相等的；当天平处在不平衡状态，则两端的重量不等．在实验中你可以观察到：(1)天平平衡是可能的；(2)天平不平衡状态是经常发生的，所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“”或“()”、“()”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“()”、“()”表示的不等量关系．用符号“()”、“()”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x1，读作x大于1；图2-11(2)表示x2，读作x小于2．课内练习11.请你用“()”、“()”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“()”、“()”连接任意两个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如7+35+3(即108)；7+(33-3)5+(33-3)(即1311)；7-95-9(即-2-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如757252(即1410)；-5–4–3–2–1012345678decfab第2题图75(天平实验图)图2-11(1)图2-11(2)757252(即3.52.5)；757x5x,x0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：757(-2)5(-2)(即-14-10)；5-75(-5)(-7)(-5)(即-2535)；-3-2(-3)(-4)(-2)(-4)(即4321)．这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向．课内练习21.因为35，所以(1)3+25+2，根据；(2)3+(-2)5+(-2)，根据．2.因为42，所以(1)4323，根据；(2)4(-3)2(-3)，根据．3.用不等式表示下面的文字意思：(1)x与3的差大于0；(2)y与5的和小于1；(3)y的3倍不小于6．4.利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x+30的两边同减去3后，不等式成为；(2)不等式y+62y-4的两边同加上4后，不等式成为；(3)不等式21x+7-9的两边同乘以2后，不等式成为；(4)不等式9x+1818x+6的两边同除以9后，不等式成为；(5)不等式-21x+7-9的两边同乘以-2后，不等式成为；(6)不等式9x+18-18x+6的两边同除以-9后，不等式成为．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a,b，有aba-b0；aba-b0；a=ba-b=0．(这里的记号“”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1比较65和76的大小．解因为65-76=4214236350，所以6576▍例2比较x2+x和3x-2的大小，其中x为任意实数．解因为(x2+x)-(3x-2)=x2+x-3x+2=(x2-2x+1)+1=(x-1)2+10，所以(x2+x)(3x-2)▍应用求差法还可以证明：若ab,bc,则ac．这个性质称为不等式的传递性课内练习31.比较下列各组中两个实数的大小：(1)32和43；(2)-3和-4；(3)12.3和3112．2.比较下列各组中两个式的大小(式中的x是任意实数)：(1)(x+1)2和2x+1；(2)(x+5)(x+7)和(x+6)2．2.数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．(1)开区间(a,b)：(a,b)表示{xaxb}，如图2-12(1)；(2)闭区间[a,b]：[a,b]表示{xaxb}，如图2-12(2)；(3)左开右闭区间(a,b]：(a,b]表示{xaxb}，如图2-12(3)；(4)左闭右开区间[a,b)：[a,b)表示{xaxb}，如图2-12(4)；(5)左开右无界区间(a,+)：(a,+)表示{xxa}，如图2-12(5)；(6)左闭右无界区间[a,+)：[a,+)表示{xxa}，如图2-12(6)；(7)左无界右开区间(-,b)：(-,b)表示{xxb}，如图2-12(7)；(8)左无界右闭区间(-,b]：(-,b]表示{xxb}，如图2-12(8)．xba图2-12(1)xba图2-12(2)xba图2-12(3)xba图2-12(4)xa图2-12(5)xa图2-12(6)例如不等式x+36的解集{xx3}是区间(-,3)；不等式x+35的解集{xx2}是区间[2,+)；不等式5x2的解集{xx52}是区间(-,52]；而不等式2(3+x)3(3+x)的解集{xx-3}是区间(-,-3)．课内练习41.以区间法表示下列数集，并在数轴上出来：(1){xx-1}；(2){xx0}；(3){xx21}；(4){xx-31}．2.解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来：(1)x+23；(2)1-x10；(3)5x+23x-8；(4)1-x4(x+2)．课外习题A组1.用“”或“”填空：(1)15+613+6；(2)9-47-4；(3)6+(-2)5+(-2)；(4)8+x10+x；(5)3272；(6)4(-3)5(-3)．2.用“”或“”表示下列实数的大小关系：(1)21和31；(2)32和21；(3)72和115；(4)211和31．3.用不等式表示：(1)x与b的和不小于5；(2)y的21倍小于-1；(3)x与3的差的2倍大于0；(4)y与-31的和不大于6．4.在数轴上表示下列数集：(1){xx-2}；(2){xx3.5}；(3){xx0}；(4){xx-4}．5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示：(1)x+35；(2)x的2倍不大于x与3的和．B组1.用不等式表示：(1)x与3的和不小于5；(2)两个数的平方和大于0；xb图2-12(7)xb图2-12(8)(3)代数式3a+2小于1；(4)代数式4x+8是负数；(5)代数式2a-1不是负数．2.解出题1中5个不等式．3.比较下列两式，求出确定大小的范围：(1)x2-2x+1与0；(2)(x+2)2与x2+2；(3)3x+1与2x-5；(4)-2-5x与8-6x．C组1.设a0,b0，比较下列两式的大小：(1)ba与ba1；(2)ab与1ab．2.证明：若ab0，则a1b1．3.用“”,“=”,“”,“”,“”连接：(1)(-1)2-12；(2)-2121；(3)(-2)3-2；(4)aa．4.若ab,cd，那么a+cb+d成立吗？a-cb-d成立吗？若不成立，应作怎样的修改使之成立？5．解下列不等式(1)7x+58x+6；(2)6x-34x-4；(3)2(2-3x)3(x-2)．