随机过程复习题

3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为{N(t),t=0}，依题意N(t)是参数为的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102PNee（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102NN，从而所求概率为：1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02PNNNPNNNNPNNee4、（15分）设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移矩阵为：61326195913102121P试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为={1，2，3}，求解方程组：=P,1+2+3=1即：1619532912161312132133223211321得：236,239,238321即极限分布为：236,239,238由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。3简述Poisson过程的随机分流定理答：设tN为强度为的poisson过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p把他归入第二类。对i=1,2,记()itN为t前到达的第i类顾客数，那么(1)(2){:0},{:0}ttNtNt分别为强度为p与（1-p）的poisson过程，而且这两个过程相互独立。4简述Markov链与Markov性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于0n及任意状态01111001,,,,,(|,,,)(|)nnnnnnnijiipjiiipji都有，该随机序列为Markov链，该对应的性质为Markov性质。5.简述Markov状态分解定理答：(1)Markov链的状态空间S可惟一分解为12STHH，其中T为暂态的全体，而iH为等价常返类。（2）若Markov链的初分布集中在某个常返类kH上，则此Markov链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为kH的不可约Markov链。7．什么是随机过程，随机序列？答：设T为[0，+）或（-，+），依赖于t(tT)的一族随机变量（或随机向量）{t}通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。8.什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t：t0}为独立增量过程，如果对于01,0,nnttt起始随机变量及其后的增量sts是相互独立的随机变量组；如果sts的分布不依赖于s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。4．设随机过程()cos2,(,),XtXttX是标准正态分布的随机变量。试求数学期望()tEX，方差()tDX，相关函数12(,)XRtt，协方差12(,)XCtt。解：因为2()cos2,(,),~(0,1),()0,()()1XtXttXNEXDXEX，（1）所以()(cos2)cos2()0,tEXEXttEX（2）22()(cos2)cos2()cos2,tDXDXttDXt（2）21212(,)[()()][cos2cos2]cos2,XRttEXtXtEXtXtt（2）212121212(,)(,)()()(,)cos2.XxxCttRttEtEtRttt2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。解：设N(t),t0是顾客到达数的泊松过程，2，故k-4(4)PN(2)=kek!，则-4-4-4-4-43271PN(2)3PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3e4e8eee333、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(sYDsYE，故222)(sYE，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(YEmX；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22YEX。6、（15分）设(),0Ntt是参数为的泊松过程，计算()()ENtNts。【解答】222()()()()()()()()()()()()()()()(1)ENtNtsENtNtsNtNtENtNtsNtENtENtENtsNtENttstttts2.1设随机过程btbVttX),,0(,)(为常数，)1,0(~NV，求)(tX的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~NV，所以1,0DVEV，bVttX)(也服从正态分布，bbtEVbVtEtXE][)]([22][)]([tDVtbVtDtXD所以),(~)(2tbNtX，)(tX的一维概率密度为),(,21);(222)(xettxftbx，),0(t均值函数btXEtmX)]([)(相关函数)])([()]()([),(bVtbVsEtXsXEtsRX][22bbtVbsVstVE2bst2.4设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中为常数，BA,是相互独立且服从正态分布),0(2N的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解因BA,独立，),0(~2NA，),0(~2NB所以，2][][,0][][BDADBEAE均值)]sin()cos([)]([)(tBtAEtXEtmX0][)sin(][)cos(BEtAEt相关函数))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX1221212212sincossincossinsincoscosttABttABttBttAE][sinsin][coscos221221BEttAEtt)sinsincos(cos21212tttt)(cos212tt2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p，对于2n，令32,1,0或nX，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{nXn的一步和二步转移概率矩阵。解对应状态为正，正）(0，1（正，反），2（反，正），3（反，反）pPp}{(00（正，正）正，正），qPp}{(01（正，正）正，反）0}{(20（正，正）反，正）Pp（不可能事件）0}{(30（正，正）反，反）Pp（不可能事件）同理可得下面概率0}{(10（正，反）正，正）Pp，0}{(11（正，反）正，反）PppPp}{(12（正，反）反，正），qPp}{(13（正，反）反，反）pPp}{(20（反，正）正，正），qPp}{(21（反，正）正，反）0}{(22（反，正）反，正）Pp，0}{(23（反，正）反，反）Pp0}{(30（反，反）正，正）Pp，0}{(31（反，反）正，反）PppPp}{(32（反，反）反，正），qPp}{(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P二步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P(2)qpqpqpqp0000000022222222qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqp8某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）季节123456789101112销售状态112122111212季节131415161718192021222324销售状态112211212111以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解状态1的个数为15个，状态2的个数为9个（1）所以，销售状态的初始分布为2492415)0(PT275.0625.0（2）求一步转移概率状态11共有7个，状态21共有7个，状态12共有7个，状态22共有2个，所以，21147,211471211pp，92,972221pp一步转移概率矩阵为92972121P，92972121P(2)9297212116271162913613362392922197979221979221212197212121三步转移概率矩阵为92972121162711629136133623P(3)38.062.04.06.029161103291618136482596483899162271324919162771324919362672239367137223三步转移后的销售状态分布为0.390.610.380.620.40.60.3750.625P)0(P)3(P3TT）（6.1设有随机过程)cos()(ttX，其中0为常数，是在区间)2,0(上服从均匀分布的随机变量，问)(tX是否为平稳过程。解)][cos()]([tEtXE021)cos(20dt)]cos()[cos()]()([),(ttEtXtXEttRX2021)cos()cos(dtt20)]22cos([cos41dtcos21，与t无关21)0()(2XRtXE所以)(tX是平稳过程。