72高等数学在经济学中应用及习题

经济学中的常用函数一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作()QfP则f称为需求函数.常见的需求函数：线性需求函数：QbaP；二次曲线需求函数：2QabPcP，指数需求函数：bpQAe，这里abc、、、A　0.幂函数需求函数：,0,0aQkPak.例1.设某商品的需求函数为(,0)QaPbab，讨论0P时的需求量和0Q时的价格。解：0P时Qb，它表示价格为零时的需求量为b，称为饱和需求量；0Q时bPa，它表示价格为ba时，无人愿意购买此商品.二、供给函数供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为Q是P的函数.记作()QGP则G称为供给函数.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性供给函数：,,0QaPbab；幂函数供给函数：,0,0AQkPAk；指数供给函数：,0,0bPQaeAb在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.三、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.例2设投入x与产出()gx间的函数关系为()agxcx，由于(2)22()aaagxcxgx可见，当1a时，规模报酬不变；当1a时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；当1a时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增.四、成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.0P0Q供需平衡点供需平衡价格产量可变成本固定成本产量总成本平均成本即12()()CQCCQCACQQQ例3已知某种产品的总成本函数为2()1000.8QCQ求当生产100个该产品时的总成本和平均成本．解由题意，求产量为100时的总成本2100(100)10002250,8C平均成本为2250(100)22.5100AC五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益,R表示平均收益，则()(),RQRRQRQ如果产品价格P保持不变，则(),RQPQRP例4设某商品的需求关系是3Q+4P=100,求总收益和平均收益．支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用可变固总CCC解价格函数为1003,4QP所以总收益函数为21003(),4QQRQPQ平均收益为1003()().4QAPQPQ六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差.即()()()LQRQCQ例5设某种商品的总成本为2()2020.5,CQQQ若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产10件的总利润．解由题意知20P（万元），总收益为()20RQPQQ，所以22()()()20(2020.5)20180.5LQRQCQQQQQQ于是2(10)(2018100.510)110().L万元七、库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为Qqn，进货周期为Ttn.假定每件物品的贮存单位时间费用为1C，每次进货费用为2C，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2q，在时间T内的总费用E为1212QECTqCq其中，112CTq为贮存费，2QCq为进货费用.八、戈珀兹(Gompertz)曲线戈珀兹曲线是指数函数xbyka，在经济预测中，经常使用该曲线.当lg001ab，时，图形如上所示，由图可见，曲线当0x且无限增大时，其无限与yk接近，且始终位于该直线下方.在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和.专题一函数关系的确定1.某种产品每台售价90元，成本60元，厂家为为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，多出的产品实行降价，其中降价比例为每多出100台每台降价1元（例如某商场订购300台，订购量比100台多200台，于是多出的这200台每台就降价0.01×200=2元，商场可以按88元/台的价格购进这多出的200台），但最低价为75元/台。(1)试将每台的实际售价P表示为订购量x的函数；(2)把利润L表示为订购量x的函数；(3)当一商场订购1000台时，厂家可获利润多少？解：初始期发展期饱和期k(1)由题设，当100x时，实际售价90P元/台，当100x时，由于产品最低价为75元/台，所以90(100)0.0175x，即1600x.故当1001600x时，实际售价90(100)0.01Px元/台；而当1600x时，实际售价75P元/台，综上90,10090(100)0.01,100160075,1600xPxxx(2)销售x台总收入90,100()[90(100)0.01](100)9000,100160075(100)9000,1600xxRxxxxxxx台总成本()60Cxx，因此x台总利润230,100()()()30(100)0.01,1001600151500,1600xxLxRxCxxxxxx(3)由(2)可知，当商场订购1000台时，厂家可获利润2()301000(1000100)0.0121900Lx元.2.某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货。每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货。每进货一次需消耗费用2000元，商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4%。试将公司全年在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数。解：y表示投资总额，x表示每批进货量，则有1000200040004%400010002xyx.3.已知商场某种商品q件时的总成本（单位：万元）2()1060.1Cqqq,该商品的销售单价为9万元。求(1)该商品的利润函数；(2)生产10件该商品时的总利润和平均利润。解：(1)22()()()9(1060.1)3100.1LqRqCqqqqqq.(2)生产10件该商品时的总利润为2(10)310100.1(10)10L；平均利润为(10)110L.4.设需求函数由P+Q=1给出，（1）求总收益函数P;(2)若售出1/3单位，求其总收益。解：212,();29RQQR5.某工厂对棉花的需求函数由4.1PQ=0.11给出,（1）求其总收益函数R;（2）P(12),R(10),R(12),R(15),P(15),P(20)。解：0.40.11,(15)0.0025,(12)0.0034,(20)0.0017,(10)0.044,RQPPPR(12)0.041,(15)0.037;RR6.若工厂生产某种商品，固定成本200,000元，每生产一单位产品，成本增加1000元，求总成本函数。解：()2000001000;CCQQ7.某厂生产一批元器件，设计能力为日产100件，每日的固定成本为150元，每件的平均可变成本为10元,(1)试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数;（2）若每件售价14元，试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。解：(1)()15010()(0100);CXXX元150()10(0100);CXXX(2)()14()0100;RXXX元（）(3)()1504()(0100)LXXX元.8.某产品之需求函数为=20-3PdQ，供给函数为=5P-1sQ，求该商品的静态均衡价格.解：250,0600250600(25020)(600),600800250600230200,800xxRxxx.9.某工厂生产某产品年产量为x台，每台售价为250元，当年产量在600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售总收入R与年产量x的关系.解：218eP.专题二连续复利问题1．某顾客向银行存入本金p元，年利率为r,n年后他在银行的存款总额是本金与利息之和.如果银行规定年复利率为r,试根据下述不同的结算方式计算顾客n年后的最终存款额.每年结算一次;每月结算一次,每月的复利率为r/12;每年结算m次,每个结算周期的复利率为r/m,证明最终存款额随m的增加而增加;当m趋于无穷时，结算周期变为无穷小,这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法称为连续复利.试计算连续复利情况下顾客的最终存款额.解(1)每年结算一次时，第一年后顾客存款额为p1=p+pr=p(1+r)第二年后顾客存款额为p2=p1(1+r)=p(1+r)2根据这样的递堆关系可知，第n年后顾客存款额为pn=p(1+r)n(2)每月结算一次时,复利率为r/12,共结算12n次，故n年后顾客存款额变为pn=p(1+r/12)12nmmrmmmmmrmrmrmmmmmmrmmmrm)11()21)(11(!1)11(!211)(!)1()1()(!2)1(!11)mr(1y,)mr(1y22mmmm由牛顿二项式公式，有令将上式中的m换为m+1有1221m1m)11()111()!1(1)111(!211)(!)1()1()(!2)1(1)1mr(1ymmrmmmmrmrmrmmmmmmrmmr比较1my与my的展开式，可以看到除前两项以外，my的每一项都小于1my的对应项，且1my还多了最后的一项，其值大于0。于是my1my所以数列{my}是单调增加的。注意到nmmnnmmnyppypp)(,)(11可知1mnmnpp即结算次数越多，顾客的最终存款也就越多.(3)每年结算m次时,复利率为r/m,共结算mn次，将n年后顾客的存款额记为pnm,则pnm=p(1+r/m)mn(4)在连续复利的情况下，顾客的最终存款额为rnmnmmnmnpemrppp)1(limlim思考题:某人在银行存入1000元,复利率为每年10%.分别以按年结算和连续复利结算两种方式计算10年后某人在银行的存款额.(按年结算p10=2593.74元按连续复利结算p10=2718.28元)某人贷款100万元做投资，贷款期限为10年，年利率为5%，按下列两种情况计算10年末的还款金额：按复利计算，每年计息2次；163.86俺连续复利计算。164.87注：若有一笔收益流的收入率为f(t),假设连续收益流以连续复利率r计息,从而总现值y=dtetfrtT0)(（*）。2.一对夫妇准备为孩子存款积攒学费,目前银行的存款的年利率为5%,以连续复利计算,若他们打算10年后攒够5万元,计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解：设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f(t)=A),使得10年后存款总额的将来值达到5万元,由公式（*）得50000)10(02.0100dteAt，又02.012.0100)10(02.0AedtAet得4517102.0500002.0eA(元)。即这对夫妇每年应等额地存入