武汉大学测量平差课件

WuhanUniversity重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以及精度评定等内容。难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程，以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单位权中误差和参数函数中误差。第七章间接平差WuhanUniversity第一节间接平差原理A12435BP2P114ˆˆ0ABLLHH以P1、P2点平差后的高程为参数:12ˆˆ,XX123ˆˆˆ0LLL345ˆˆˆ0LLL11ˆˆ0ALHX22ˆˆ0ALHX（1）（2）（3）（4）（5）11ˆˆALXH22ˆˆALXH（6）（7）(6)代入(1)变化后得：411ˆˆˆ2ABABLLHHXHH(6)、(7)代入(2)变化后得：31212ˆˆˆˆˆLLLXX（8）（9）(8)、(9)代入(3)变化后得：53412ˆˆˆˆˆ22ABLLLXXHH（10）一、基础方程及其解WuhanUniversity11111ˆˆ()ˆˆntnnttnLFXLBXd00()lLBXdLL间接平差函数模型：间接平差随机模型：12020PQDnnnn111ˆntntnlxBV0ˆˆXXx0ˆ()LVBXxdWuhanUniversity按最小二乘原理，则有：以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：ˆminTxVPV必须满足的要求，0ˆˆTTTVPVVVPVPBxx0PVBT111ˆntntnlxBV)(0dBXLl0ˆlPBxPBBTTPlBWPBBNTtTttBB1，令0ˆWxNBB则：PlBPBBWNxTTBB11)(ˆ－－间接平差的法方程xXXVLLˆˆˆ0，WuhanUniversity当P为对角阵时，则有纯量形式：][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaatttnnntbatbatbaB232111WuhanUniversity例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测量，得观测值及线路长度如下：h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m，h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,S4=1km,HD=3.768m，试按间接平差法求P点的高差平差值。解：t＝1，选取P点的高程平差值为参数（1）列误差方程ABDCP1243XˆDCBAHXvhHXvhHXvhHXvhˆˆˆˆ4433221144332211ˆˆˆˆhHXvhHXvhHXvhHXvDCBA取参数的近似值xxhHxXXmhHXAAˆ996.6ˆˆˆ996.61010WuhanUniversity得误差方程为：6ˆ20ˆ3ˆˆ4321xvxvxvxv62030ˆ11114321xvvvv（2）组成法方程：15.05.01P取1km的观测高差为单位权观测，则可得：100.53111117.50.52016TWBPl110.51111130.5111TbbNBPBWuhanUniversity（4）计算改正数12345.82.814.20.2vmmvmmvmmvmm，，，（5）计算平差值ˆ6.9965.8/10007.002XmmLmLmLmL768.3ˆ804.4ˆ674.5ˆ526.3ˆ4321，，，ˆVBxl法方程05.17ˆ3x（3）解法方程：ˆ5.83()xmmxXXVLLˆˆˆ0，WuhanUniversity二、按间接平差法求平差值的步骤1.根据平差问题选取t个独立量作为参数；2.将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于非线性函数线性化，列出误差方程；3.组成法方程；4.解算法方程，求出参数；5.计算参数的平差值，求出观测量的平差值。xˆWuhanUniversity一、确定未知数的个数第二节误差方程要确定平差问题中未知数的个数；选择哪些量作为未知数；要考虑怎样列出平差值方程；如何选取未知救的近似值；如何写出误差方程。未知数的个数等于必要观测数二、参数的选择参数选择的原则：足数独立最简采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是否便于计算而定。WuhanUniversity如果选取的t个参数中有下列函数关系0)ˆˆ,ˆ(21tXXX则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数，另选取一个独立的参数代替。WuhanUniversity例如教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量作为未知数。112234ˆˆˆˆˆˆXLXLXL112235ˆˆˆˆˆˆXLXLXL112435ˆˆˆˆˆˆXLXLXL122435ˆˆˆˆˆˆXLXLXL但是不能选择以下的任一组未知数：112233ˆˆˆˆˆˆXLXLXL132435ˆˆˆˆˆˆXLXLXL123345ˆˆˆˆˆˆ0,0XXXXXXA12435CDBWuhanUniversity例如图中可以选择以下几组量作为未知数。ABCDL1L2L3L4L5L61122ˆˆˆˆXLXL1124ˆˆˆˆXLXL1226ˆˆˆˆXLXL但是不能选择以下的一组未知数：1224ˆˆˆˆXLXL12ˆˆ0XXBACWuhanUniversity三、平差值方程的列出如果误差方程中常数项的有效数字位数较多时，则由它们组成的法方程常数项的数字位数也就较多，这给后续的计算增加了困难。此时，为了简化计算工作，必须引进来知数的近似值。参数的近似值一旦取定，不能再变动；误差方程中常数项是有效数字较少的一个小的数值，为计算方便，应该用观测值相应的小单位表示。iiixXXˆˆ0WuhanUniversity例在测站A上对B,C,D,E四个方向观测了六个角度ABCDEL1L2L3L4L56L941056,7073104,215348,0145152,912596,107148654321LLLLLL试按间接平差法列出误差方程。解：必要观测为3设114263ˆˆˆˆˆˆ,,LXLXLX3663255244321332122111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆXvLXXvLXvLXXXvLXXvLXvL000112436ˆˆˆ481701,483512,560149XLXLXL0ˆ6ˆˆ0ˆ8ˆˆˆ6ˆˆ0ˆ3632524321321211xvxxvxvxxxvxxvxvWuhanUniversity四、非线性误差方程线性化非线性方程itiiLXXXfv)ˆˆ,ˆ(21ittitiiLxXxXxXfXXXfv)ˆˆ,ˆ()ˆˆ,ˆ(020102121用级数展开并去掉高次项得：ittiiitiiLxXfxXfxXfXXXfvˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(),(020210100201iiitiitiiiiiiLLLXXXflXftXfbXfa00020100201),()ˆ(,,)ˆ(,)ˆ(令),2,1(ni12ˆˆˆiiiitivaxbxtxlWuhanUniversity五、水准网函数模型（一）水准网中选择参数的数量有已知点，等于待定点的个数；无已知点，等于点的总数减一（设定某一待定点的高程为零）。（二）参数选择的方法选择待定点的平差后高程作为参数。（三）水准网误差方程的一般形式设已j,k点的平差后高程为参数jkhijkiXXhˆˆˆjojjkokkxXXxXXˆˆ,ˆˆikjilxxvˆˆ则ikjihXXl00其中WuhanUniversity例有水准网如图。A，B为已知水淮点，且有HA＝10.000m，HB＝12.000m，各段观测高差及距离见下表，P1、P2、P3为待定点。试列出平差该水准网时的误差方程式。AP2BP3P112345678解：t=3,选择P1、P2、P3的平差后高程为参数。321ˆ,ˆ,ˆXXX序高差（m）距离（km）序高差（m）距离（km）12.3592.058.232.02-0.3632.06-6.232.033.0091.070.6571.04-1.0121.085.2111.0000112533ˆˆˆ12.359,18.230,13.009AAAXHhmXHhmXHhm可以列出8个误差方程11122133344355266277218832ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆABABABhvXHhvHXhvXHhvHXhvXHhvHXhvXXhvXX112133435262721823ˆ0ˆ4ˆ0ˆ3ˆ0ˆ0ˆˆ7ˆˆvxvxvxvxvxvxvxxvxxWuhanUniversity例有水准网如图。各段观测高差及距离见下表，试列出平差该水准网时的误差方程式。解：t=3,选择A、B、C的平差后高程为参数令D点的高程等于零。。321ˆ,ˆ,ˆXXX000152436ˆˆˆ010.594,08.230,010.180XhmXhmXhm可以列出6个误差方程ABC123456D366155244313332222111ˆ0ˆ0ˆ0ˆˆˆˆˆˆXvhXvhXvhXXvhXXvhXXvh0ˆ0ˆ0ˆ3ˆˆ1ˆˆ4ˆˆ361524313322211xvxvxvxxvxxvxxv序高差（m）序高差（m）12.36048.2302-1.951510.5943-0.411610.180WuhanUniversity六、测角网坐标平差误差方程近似坐标方位角的改正数为（一）选择参数的数量参数数量=2P，P待定点点数（二）参数选择的方法选择待定点的的纵、横坐标作为参数（三）误差方程的一般形式设j,k两点的近似坐标改正数为：jkjkSjka),(00jjYX),(00kkYXkkjjyxyxˆ,ˆ,ˆ,ˆjjjjjjyYYxXXˆˆˆˆˆ00有kkkkkkyYYxXXˆˆˆˆˆ00jkjkjkjk0ˆWuhanUniversity用级数展开得：0000ˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆ()()kjkkjjjkkkjjkjYYYyYyarctgarctgXx