61量子力学导论 第十章 教案

量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》1第10章定态问题的常用近似方法§10.0引言§10.1非简并定态微扰理论§10.2简并微扰理论§10.3变分法§10.0引言（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。（三）近似解问题分为两类（1）体系Hamilton量不是时间的显函数——定态问题1.定态微扰论；2.变分法。（2）体系Hamilton量显含时间——状态之间的跃迁问题1.与时间t有关的微扰理论；2.常微扰。§10.1非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（五）讨论（六）实例量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》2（一）微扰体系方程微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含时间，而且可分为两部分：HHHˆˆˆ00ˆH所描写的体系是可以精确求解的，其本征值)0(nE，本征矢)0(|n满足如下本征方程：)0()0()0(||ˆ0nnnEH另一部分Hˆ是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于0ˆH上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的Schrodinger方程：nnnEH||ˆ当0H时，)0(||nn,)0(nnEE；当0H时，引入微扰，使体系能级发生移动，由nnEE)0(，状态由nn||)0(。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：WHˆ其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为nE、n|，请注意与教材中对应因为nE、n|都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：)2(2)1()0()2(2)1()0(||||nnnnnnnnEEEE量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》3其中)0(nE，)1(nE，)2(2nE，…分别是能量的0级近似，能量的一级修正和二级修正等；而|)0(|n，)1(|n，)2(2|n，…分别是状态矢量0级近似，一级修正和二级修正等。代入Schrodinger方程得：)||)(|()||)(|ˆ()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0nnnnnnnnnEEEWH乘开得：3)0()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0(1)0()0(03)1()2(02)0()1(01)0(00||||||||ˆ||ˆ|ˆnnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEWHWHH根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:)0()0()0(00||ˆ:nnnEH)0()1()1()0()0()1(01||||ˆ:nnnnnnEEWH)0()2()1()1()2()0()1()2(02|||||ˆ:nnnnnnnnEEEWH整理后得：)0()2()1()1()2()0(0)0()0(0||][|]ˆ[ˆ0|]ˆ[nnnnnnnnEEWEHEH(0)n(1)n(1)n(0)n0ψ|]E[Wψ|]EH[上面的第一式就是0H的本征方程，第二、三式分别是)1(|n和)2(|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。（二）态矢和能量的一级修正现在我们借助于未微扰体系的态矢|)0(|n和本征能量)0(nE来导出扰动后的态矢n|和能量nE的表达式。(1)能量一级修正)1(nE量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》4根据力学量本征矢的完备性假定，0H的本征矢)0(|n是完备的，任何态矢量都可按其展开，)1(|n也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：10111001k)(k)(knk)(n)(k)(k)(n|ψa|ψψ|ψ|ψ其中)(n)(k)(kn|ψψa101。)0(|k）（,,2,1k是一组完备基矢。代回前面的第二式并计及第一式得：)0()1(1)0()1()0(0|][|]ˆ[nnkkknnEWaEH或写成)0()1(1)0()0()0()1(|][|][nnkknkknEWEEa左乘|)0(n,有)0()0()1()0()0()0()0()0()0()1(1||||][nmnnmkmnkknkEWEEa考虑到本征基矢的正交归一性：mnnmnkmknkknEWEEa)1(1)0()0()1(][mnnmnnmmnEWEEa)1()0()0()1(][考虑两种情况1.nm)0()0()1(||nnnnnWWE2.nm)0()0()0()0()0()0()1(||mnnmmnmnmnEEWEEWa可以给出波函数的展开系数准确到一阶微扰的体系能量：量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》5nnnnnnnnnnnnnnnHEHEWEWEEEEˆ|ˆ|||||)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()1()0(其中)0()0(|ˆ|ˆnnnnHH即能量的一级修正等于微扰Hamilton量在0级态矢中的平均值（2）态矢的一级修正)1(|n令)0()1(1)1(||kknkna为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢n|的归一化条件证明上式展开系数中0)1(nna（可以取为0）证：基于n|的归一化条件并考虑上面的展开式*][1]*[1]|*|[1||||]|[||]|[|1)1()1(21)1()1(2)0()0()1(1)0()0()1()1()1(2)0()1()1()0()0()0()1()0()1()0(nnnnkknknnkknnkknkknknnnnnnnnnnnnnnnaaaaaa各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以0*][)1()1(nnnnaa0，0*][)1()1(nnnnaa0]Re[)1(nna)1(nna的实部为0。)1(nna是一个纯虚数，故可令iann)1(（为实）。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》6nkkknninkkknninkkknnnkkknnnnkkknnnnnkknknnaeaeaiaiaaa)0()1()0()0()1()0()0()1()0()0()1()0()0()0()1()0()1()0()0()1(1)0(||||||)1(|||||||||最后两步用到公式iλ1eiλ。（三）能量的二阶修正对)|(||)0()1()0(nkkknninae上式结果表明，展开式中，)0()1(|nnna项的存在只不过是使整个态矢量n|增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取=0，即0)1(nna。这样一来，nkkknknnnkkknnknnkkknnknnkkknnknnkkknnnEEHEEHEEWEEWa)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()1()0(||||ˆ|||||||||||||与求态矢的一阶修正一样，将)2(|n按)0(|n展开：1)0()2(1)2()0()0()2(||||kkknknkkna与)1(|n展开式一起代入关于2的第三式量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》71)0()2()0()1()1(1)0()2()0(0||][|]ˆ[knnkknnkkknnEaEWaEH1)0()2()0()1()1(1)0()2()0()0(||][|][knnkknnkkknnkEaEWaEE左乘态矢|)0(m得)0()0()2(1)0()0()1()1(1)0()0()1(1)0()0()2()0()0(|||||][nmnkkmknnkkmknkkmknnkEaEWaaEE利用正交归一性，有121110011200][kmn)(nmk)(kn)(nk)(k)(m)(knkmk)(kn)(n)(kδEδaE|W|ψψaδaEE1)2()1()1()1()2()0()0(][kmnnmnnmkknmnnmEaEWaaEE1.当nm时1)2()1()1()1(0knmnnmkknEaEWankknknnkknknknnknkknknnknkknknnnnnkknnEEWEE)0()0(2)0()0(*)0()0()1(1)1()1()2(||利用了)0()0()1(knknknEEWa。在推导中使用了微扰矩阵的厄密性nkknknnkkn)0()0()0()0(*)0()0(*||||||2.当nm时1)1()1()1()2()0()0(][kmnnmkknmnnmaEWaaEE量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》82)0()0()0()0()0()0()0()0()1(1)0()0()1()2(][]][[mnmnnnnkknmnmkknmnmnnnkmnmkknmnEEWWEEEEWWEEaWE