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1 应用偏微分方程与科学计算讲义（十六）Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 16 马石庄 2011．11．08．北京 2 第16讲 谱方法与拟谱方法 教学目的： 谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，离散Fourier变换的快速算法出现，给谱方法带来了生机，有效地解决了谱方法计算量巨大的困难，使其具有实用价值。谱方法已和有限差分法、有限元法一起成为数值求解偏微分方程的第三种基本方法． 主要内容： §1 谱方法 .............................................................................................. 4 1.1 Fourier谱方法 ............................................................................. 4 1.2 Galerkin方法 ............................................................................... 7 1.3 Gauss型求积 ............................................................................. 11 §2 Fourier拟谱法 .................................................................................. 16 2.1 离散Fourier变换 ..................................................................... 17 2.2 插值函数的微分 ....................................................................... 20 2.3 例子 ........................................................................................... 24 §3 Chebyshev拟谱法 ............................................................................ 26 3.1 离散多项式变换 ....................................................................... 27 3.2 Chebyshev多项式 ..................................................................... 30 3.3 例子 ........................................................................................... 34 练习16 ................................................................................................... 37 3 谱方法与差分法和有限元法都不同。在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数，一般是奇异和非奇异Sturm‐Liouville问题的特征函数。根据检验函数数的不同选取，谱方法可以分为Galerkin方法，Tau方法或配置法，又称为谱方法，Tau方法或拟谱方法。在Galerkin方法中，检验函数与试探函数属于同一个空间，并要求满足边界条件；Tau方法类似Galerkin方法谱方法，但不要求检验函数满足边界条件．而是利用边界条件再补充一些方程，昀后得到一个封闭的方程组；配置法则是取检验函数为以那些配置点为中心的Dirac‐函数，使得微分方程在这些配置点上精确成立． 如果按所讨论的问题是否周期，又可把谱方法分为Fourier谱方法（周期情形）和Chebyshev谱方法，Lagrange谱方法和Hermit谱方法等，这些方法是分别以三角多项式，Chebyshev多项式，Legendre多项式，Hermit多项式等Sturm‐Liouville问题的谱函数作为基函数的来讨论问题。由于FFT的出现以及Chebyshev多项式和三角函数间的密切关系，使得Chebyshev谱方法考虑得更多。 在实际应用中，拟谱方法比谱方法更有效，因为它更易于和快速变换方法（如FFT）连结起来使用．但拟谱方法会产生Gibbs型振荡现象，可能引起能量的反常增长，或减弱解的非线性。 谱方法的昀大魅力是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以的任意幂次速度收敛于精确解．这里为所选取的基函数个数，这是有限4 差分法和有限元法无法比拟的。谱方法的不足在于要求原问题解的正则性较好和求解区域比较规则，一般是乘积型区域。此外，由于Chebyshev谱方法权函数在边界处的奇性会导致实际计算时出现某些数值不稳定现象。 §1 谱方法 谱方法的由来已久．早在1820年，Navier就运用双重三角级数求解弹性薄板问题，但是由于计算量大以及构造满足边值条件的基函数困难而难于应用。直到1965年，计算离散Fourier变换的快速算法（FFT）出现，给谱方法带来了生机，有效地解决了谱方法计算量巨大的困难，使其具有实用价值。Orszag（1971）提出以三角多项式作为基函数求解微分方程的谱方法。 1.1Fourier谱方法 1820年，Fourier的学生Claude‐Louis Navier（1875－1836）研究了四边铰链支承的长方薄板问题的重三角级数解 ＋2，，，0，0 ，0， 0，0， 设 5 ，sinsin 和形式解 ，sinsin 代入方程，得到 2 因此，无穷级数解为 ，2sinsin 将其截断，得到 ，2sinsin 且，当∞ 把Navier方法运用到发展方程，扩散方程的定解问题 0，0，，00，，0 ，0 ，0，0， 方程的解。运用Fourier方法，解可以表示 ，sin 6 代入方程，得到 dd00 ，1，2， 其中，初值函数的Fourier系数 2sin 假设足够光滑.截断在,近似解为，，即Fourier谱逼近 ，sin 得到 dd00 ，1 求出，得到 ，，，∞，0 例1．研究非齐次热传导方程 1，0，，00，，0 ，0 ，0，0， 谱逼近为 dd40 ，1 其中 7 1，是偶数0，是奇数 解得 e41e 因此 ，，，∞，0 因此，谱方法未必有限差分方法好。 1.2 Galerkin方法 一般些，设是线性椭圆型微分算子，把求解发展问题 ， ，0 |，，0 |， 作为模式问题，谱方法解题过程包括两个步骤．第一步是选取满足边界条件基函数，由此确定近似解，所属的逼近空间．在上面例子中，基函数取为sin，1，而spansin|1．显然，sin是用分离变量法求解问题时导出关于空间变量的特征值问题的谱函数．对于一般的问题，求相应的谱函数很困难．既使求出谱函数，也存在按其展开收敛速度慢，运算量大及计算不稳定等问题．因此，谱方法基本上不考虑与求解问题相联系的谱函数，而总是采用逼近性质良好，且便于利用快速变换来计算为三角多项式和Chebyshev多项式等作为基函数． 求解的第二步是如何将无限维问题简化为有限维问题．假设在一8 个Hilbert空间中考虑原问题，则截断方法实际上定义了一个从的Galerkin投影算子：满足 ，，， 即 ，， 和 · · 得到半离散逼近 0 ，0 和 ，， 然后要求方程两端在中的投影相等．事实上在Galerkin方程分别取 ，1，， 代入 ，，0， ，，，， 取，1，满足边值条件，把近似函数 ， 9 代入 dd，，0 0，， ，1 代入，即导出谱逼近方程．引入记号 ，，，，，000 和质量矩阵 ，，，，，，，，， 刚度矩阵 ，，，，，，，，， 得到隐式 dd0 转化为一阶常微分方程组的初值问题，存在大量计算数值积分的问题。 例2 一维波动方程初边值问题的谱逼近 10 ，0，，00，0 ，0 ，00，0， 精确解是，。做Galerkin谱逼近近似，取sin，则 ， 令 ， 其中可以用分部积分确定 2 d2 sind2 cos|2 cosd2 sincosd4 奇 同样可以证明，Galerkin谱逼近方程为 dd4 奇2 14 ，1 如图5时，分别取50，75，初始条件00，发现当∞时，Galerkin近似解，并不收敛到真解，5 计算的值矩阵般问法应用具数。1.3求下解法分公经典的算量太大值都与其它阵基本上是问题很难找应用．有限具有局部支。与此同 Gauss型运用Ri下面形式法很多，结公式。以Ritz‐Gale，由于基它所有的是满秩的找到满足限元方法虽支集、形状时，基函型求积 itz‐Galerk的求积公结果也不1，rkin方法函数不是点的值相，求积的足边界条件虽有效地克状简单的函数的简单kin方法的公式 不相同．如1为11 法作为计算是局部支集相联系，由的量很大；件的基函数克服了Ri函数替代单性也限制的总是与大如果采用等为节点的插算方法有两集的，所以逼近方法二是基函数，至于复itz‐Galerk整体无限制了逼近精大求积分有等距节点下插值型求积11两个致命的以未知函数法导出的代函数构造因复杂形状区kin方法的限光滑的函精度． 有关。先考 下的Newt积公式， 的弱点。一数在每一点代数方程中因难，对于区域就根本的第二个缺函数作为基考察一个例ton‐Cotes立即可得 一是点上中的于一本无缺点，基函例子，s积得 12 此求积公式只具有一次代数精度．为此，选取，和，，是求积公式对1，，，分别准确成立，即满足方程组 202 3 0 解之得 1，√33，√33 故得到 √33√33 容易验证，此求积公式是插值型的，且具有三次代数精度．此例表明，对于两点求积公式，只要适当选择四个参数，和，，其代数精度有可能达到三次．同理，在一般求积公式 中，一共有1对待定参数， ，0。只要适当选取参数，使求积公式具有21次代数精度是完全可能的．若节点确定，则系数也确定．为此，考察对函数的多项式插值 ， 其中 阶数不大于的多项式的集合 13 则可以证明 ||1! 对于区间，内任意等间距节点，0，极大范数max，||可能当∞时不收敛，即便，是无限次光滑的。例如，对于Runge函数 1251，1，1 如下