数字信号处理第六章

第6章IIR数字滤波器设计数字滤波器的设计过程一般可归纳为以下四个步骤：(1)按实际要求，确定滤波器的性能指标。(2)寻找一个稳定因果系统去逼近这个性能指标，即求出数字滤波器的系统函数或单位冲激响应，系统有IIR和FIR两种形式。(3)采用适当的结构和合适的字长去实现此数字滤波器系统。(4)验证所设计的系统是否满足给定的性能指标，不满足时对第(2)、(3)步进行修改。滤波器的性能要求，往往以频率响应幅度特性的容许误差来表征。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。在通带内，幅度响应以误差±δ1逼近于1，即111)(1jeHc在阻带中，幅度响应以误差小于δ2逼近于零，即2)(jeHs2)(jeHs低通滤波器特性目前，IIR数字滤波器设计主要有以下两种方法：①利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，根据模拟滤波器理论设计出满足要求的模拟滤波器的Ha(s)，然后再根据Ha(s)求得相应的数字滤波器的H(z)，使H(z)的频率响应逼近Ha(s)的频率响应，同时H(z)也必须保持Ha(s)的因果性和稳定性。②利用优化技术设计数字滤波器，在某种最优化准则意义上逼近所需要的频率响应。这种方法需要进行大量的迭代运算，必须借助计算机完成。6.1模拟低通滤波器的设计方法模拟滤波器的设计，就是用模拟系统的系统函数去逼近所要求的理想特性。标准的模拟低通滤波器的设计公式有巴特沃思、切比雪夫、贝塞尔、考尔(又称椭圆函数)滤波器等，它们都是根据幅度平方函数来确定的。6.1.1幅度平方函数理想低通滤波器，其模拟理想低通滤波器的幅度响应特性可用幅度平方函数表示jsaaasHsHjHH)()()()(22式中，Ha(s)为所设计的模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数；Ha(jΩ)是其稳态响应，|Ha(jΩ)|为滤波器的稳态振幅特性。(2)虚轴上的零点一定是二阶的。(1)Ha(jΩ)和Ha(-jΩ)的零极点是镜像对称的。为保证所设计的滤波器稳定，其极点必须落在S平面左半平面，所以落在S平面左半平面的极点属于，落在S右半平面的极点属于。零点分布与滤波器相位有关，如果要求滤波器具有最小相位，则应选取S平面左半平面的零点。)(sHa)(sHa6.1.2巴特沃思低通滤波器设计巴特沃思低通滤通器的幅度平方函数为NcjsaaajjsHsHjH22)/(11)()()(式中，N为正整数，称为滤波器的阶数。Ωc为通带截止频率，当Ω＝Ωc时,21()2acHj＝110lg32dB所以Ωc称为3dB衰减点其幅度平方函数特性如图，不管N为多少，都通过:3dB衰减点当Ω=0时，当Ω=Ωc时，当ΩΩc时，N越大，当ΩΩc时，N越大，所以N值越大，滤波器通带和阻带的近似性越好。2(j)1aH＝21(j)2aH＝20Nc2(j)1aH21Nc2(j)0aH2221()1aNcAHj这种函数具有以下特点：通带内具有最大平坦幅度特性，在正频率范围内随频率升高而单调下降；阶次越高，特性越接近矩形；没有零点。NcaajssHsH2)/(11)()(0)/(12Ncjs为了根据幅度平方函数来构造模拟滤波器的系统函数，从每一对极点中选出一个位于S平面左半平面的极点，以保证模拟滤波器的稳定性和因果性。因此，可以直接写出模拟滤波器的系统函数为NkkassAsH10)()(11(21)222121()22(1)(),1,2......2jjkNNkcckjNcsjeeekN其极点为式中，A0为归一化常数，一般，sk为s平面左半平面的极点。0ANc例求三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，Ωc=2rad/s。解按幅度平方函数求解。因为261(j)1()2aH()()aaHsHs611()2s则所有的极点为121j()262e,1,2,,6kksk选出左半平面的三个极点：1s-0.50000.8660sj()aHs3321238()()()488csssssssss6.1.3切比雪夫低通滤波器设计切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中(通带或阻带)具有等波纹特性；一种是在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型；一种是在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型。切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度平方函数为cNaTjHH222211)()(1)(1)coscos()(11xxNchchxxNxTN　　　　　　　式中，ε为小于1的正数，表示通带波动程度，ε值越大波动也越大；N为正整数，表示滤波器的阶次；Ω/Ωc可以看作以截止频率作为基准频率的归一化频率，TN(x)为切比雪夫多项式：6.1.4椭圆滤波器椭圆滤波器的特点是在通带和阻带的范围内都具有等波动的幅度特性。由于这种滤波器由雅可比椭圆函数来决定，故称之为椭圆滤波器。它的幅度平方函数表示为)(11)()(2222cNaJjHHJN(x)为N阶雅可比椭圆函数与巴特沃斯和切比雪夫滤波器相比，由于椭圆滤波器在通带和阻带中都具有等波动特性，所以在相同技术指标要求条件下，它的过渡带最陡，或者说它的阶次可以最低。但是，这种滤波器在参数变化时对特性的影响(灵敏度)也最大。6.2冲激响应不变变换法6.2.1变换原理冲激响应不变变换法的基本准则是使数字滤波器的单位冲激响应h(n)等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的抽样值，即)()()(nThthnhanTtaNkkkassAsH1)(模拟滤波器的系统函数通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次。如果Ha(s)仅含有单极点，则NktskatueAthk1)()(NknTskanTueAnThnhk1)()()(0110)()()(nNknTsknnzeAznhzHk其拉氏反变换：NkTskNknnTskzeAzeAkk111011)(1111kksTsTkzssezze可见H(z)可由Ha(s)通过下列对应关系得到：①Ha(s)与H(z)的各部分分式的系数相同；②它们的极点根据实现映射；③Ha(s)与H(z)的零点之间没有对应关系。ksTze6.2.2混叠失真稳定的模拟滤波器，其全部极点均位于S平面的左半平面内，当其映射到Z平面时，全部极点在单位圆内部，即0Reks1ReTsTskkkeez只要模拟滤波器是稳定的，用冲激响应不变变换法设计的数字滤波器一定是稳定的。按冲激响应不变变换法从S平面到Z平面的映射不是单值关系。sTezjs)2(kTjTTjTsTeeeeezS平面上每一条宽为2Л/T的横带都重叠地映射到全部z平面上，每一条横带的左半部分映射到z平面单位圆内，横带右半部分映射到z平面单位圆外。抽样信号z变换与模拟信号拉氏变换之间关系为：数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间的关系为：如果模拟滤波器的频率响应限带于抽样频率之内，即则数字滤波器的频率响应将无失真地重现模拟滤波器的频率响应1()|()sTaszemHzHsjmT12()()jammHeHjTT()0||/aHjT1()()||jaHeHjTT但是任何一个实际的模拟滤波器，其频率响应不可能真正是限带的，因此会不可避免地产生频谱混叠。这样，数字滤波器的频率响应就不同于原模拟滤波器的频率响应而有一定失真。可以说混叠是冲激响应不变变换法的最大缺点，只有当模拟滤波器在Ωs/2以上的频率衰减很大时，这个失真才很小，这时采用冲激响应不变变换法设计的数字滤波器才能满足精度要求。在实际应用中冲激响应不变变换法要适当进行修改，当抽样时间间隔很小时，数字滤波器具有很高增益，为了使数字滤波器的增益不随抽样频率而变化，可作如下修改)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(　　　　TjHeHaj)(例6.3已知模拟滤波器系统函数，用冲激响应不变变换法求数字滤波器系统函数。22)()(basassHajbasjbasbasassHa2121)()(22))(()cos(121121)(11jbTaTjbTaTaTjbTaTjbTaTeezeezbTezzzeezeezH6.3双线性变换法冲激响应不变变换法有可能产生频谱混叠，原因是s平面与z平面是非单值映射。有必要寻求s平面与z平面的单值映射关系，克服混叠现象。6.3.1变换原理设描述模拟滤波器的微分方程为)()()(001txdtyctycaa方程两边同时取拉氏变换，得到模拟滤波器的系统函数010)(cscdsHa)()()(00tydttytyattaanTtTnt)1(0TnydttynTyanTTnaa)1()()()1(用梯形法近似逼近积分，得差分方程0011()(1)()(1)()(1)2cdTynynynynxnxncc()()(1)(1)2aaaaTynTynTynTynT将)()()(1010nTxcdnTyccnTyaa代入上式得式中)()(nTynyaTnynya)1()1()()(nTxnxTnxnx)1()1()()(nTynyaTnynya)1()1()()(nTxnxTnxnx)1()1(对上式两边取z变换，整理得01110112)()()(czzTcdzXzYzH比较可知s平面与z平面的双线性变换映射关系11112zzTssTsTz226.3.2逼近情况讨论jsjTjTz2221222222TTzrs平面左半平面映射到z平面单位圆内；s平面右半平面映射到z平面单位圆外；s平面虚轴映射到z平面单位圆上。)0(js)1(rezj212sin(/2)2tan1cos(/2)2jjejjjTeTT22tgT由以上讨论分析可得如下结论：(1)如果模拟滤波器是稳定的，用双线性变换法设计的数字滤波器也一定是稳定的。(2)双线性变换法中，s平面与z平面是单值映射关系，因此消除了冲激响应不变变换法所存在的混叠问题，但是存在着严重的非线性。因此，双线性变换法克服了冲激响应不变变换法所存在的混叠问题，是以引入频率失真为代价的，当这种失真是可以允许的或者能够得到补偿时，才能采用双线性变换法设计数字滤波器。“预畸变”方法是补偿双线性变换中频率非线性关系的有效方法。首先，进行预畸变。即根据数字滤波器的截止频率求出模拟滤波器的截止频率。2tan2ccT2tan2ssT然后，设计低通模拟滤波器，通带截止频率为Ωc、阻带截止频率为Ωs)()(11112zHsHzzTsa2tan21T把所设计的模拟滤波器截止频率映射成数字频率ccccTTT22tan2tan22tan211ssssTTT22tan2tan22tan211这说明，对数字截止频率进行预畸变，得到；再根据设计模拟滤波器；经双线性方法映射成的数字滤波器的截止频率，刚好是，即变换前、后一样。cs、cs、cs、()aHs()aHscs、6.3.3冲激响应不变变换法与双线性变换法的