概率论与数理统计知识点--张继昌

第一章概率论的基本概念一样本空间和随机事件（1）样本空间：某随机试验的可能结果的全体构成的集合，常用S（或Ω）表示。（2）随机事件：可能发生可能不发生的“事件”，常用大写字母,,BA表示。（3）随机事件之间的关系：BA；BA；A与B互不相容，记为：AB；（4）随机事件的运算（与集合运算相同）：和：BA；交：AB；差：BA；逆事件：ASA。（3）随机事件运算的运算律：交换律：结合律：分配律：对偶律：,,CBACBABABA,,CBAABCBAAB.二．概率的公理和性质：公理：（1）1)(0AP,（2）1)(SP,（3）BA,互不相容，则)()()(BPAPBAP.性质：（1）0)(P；（2）)(1)(APAP)；（3）若BA,则)()()(BPAPBAP；（4）)()()()(ABPBPAPBAP，)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP。三.等可能概率问题（古典概型）及其概率计算。四.几个公式1．条件概率与乘法公式条件概率)()()|(APABPABP。乘法公式：)|()()(ABPAPABP，)|()|()()(ABCPABPAPABCP.2．全概率公式：若BASBA,,互不相容,则)|()()|()()(BDPBPADPAPDP；3．贝叶斯公式：)|()()|()()|()()()()|(BDPBpADPAPADPAPDPADPDAP，4．独立性：0)(,0)(BPAP，若)()()(BPAPABP，则A与B相互独立.第二章：随机变量及其分布一、离散型随机变量离散型随机变量X用分布律描述，分布律有性质：（1）0≤ip≤1，（2）1iip。对于实际问题中引进的随机变量，首先要明确他是否是离散型，若是，则分析他的全体可能取值，再用适当的方法求各个值对应的概率。几种常见的重要的离散型（1）．10分布（二点分布）其分布律为：X01Pqp分布函数是：111000)(xxqxxF(2)．泊松分布)(~XekkXPk!)(k=0，1,2,…(3)。贝努里分布（二项分布）X～B(n,p)knkknqpCkXP)(k=0,1,2,…，n.二项分布的客观背景：在一次试验中，随机事件A发生的概率是p，（A不发生的概率是q=1-p）独立重复n次试验中，A发生的次数X就是二项分布：X～B(n,p),二随机变量的分布函数设随机变量X，任意实数x，函数：)()(xXPxFx三连续型随机变量连续型随机变量X用密度函数f(x)描述。密度函数的性质0)(xf；1)(dxxf；PbadxxfbXa)(；)(xF=f(x)；几种常见的连续型随机变量，（1）均匀分布X～U(a,b)密度函数：f(x)=他其01bxaab（2）指数分布密度函数为：0)(xexf00xx（3）正态分布：X～),(2N密度函数为：222)(21)(xexfx标准正态分布：)1,0(~NX，其分布函数为：dtexXPxtx2221)()(注意到密度函数)(x关于OY轴是对称的，于是)(1)(1)()(aaXPaXPa)()()()(aXPaXPaXaPaXP1)(2)](1[)(aaa积分dtetx2221不能用常规的方法计算，我们把分布函数)(z的值编制成表格（见附表），标准正态分布的概率由查表得到。例.Ф(1)=0.8413,Ф(1.645)=0.95,9750.0)96.1(等。一般正态分布概率的计算：设),(~2NX，密度函数为：222)(21)(xexf分布函数为：dtexXPxFtx222)(21)()(=x.这样，就把一般正态分布概率的计算转化为标准正态分布概率的计算，由查表解决。第三章多维随机变量一.二维离散型随机变量（1）联合分布律：有性质：10ijp，i,j=1,2,…；ijijp1.（2）边缘分布律边缘分布律可以从联合分布律中按行（按列）相加得到：二．二维连续型随机变量（1）联合密度函数f(x,y)，有如下的性质；（1）0),(yxf；（2）.1),(dxdyyxf；（3）DdxdyyxfDYXP),()),((；（4）),(),(2yxfyxyxF；(2)．边缘密度函数dyyxfdudyyufxFxfxxXX),()),(()()(；dxyxfdvdxvxfyFyfyyYY),()),(()()(；三．随机变量的独立性对于二维离散型，就是：P(X=ix,Y=jy)=P(X=ix)P(Y=jy)对于二维连续型，就是；)()(),(yfxfyxfYX