微分中值定理ppt

2020/5/141应用导数研究函数性态局部性态—未定型极限函数的局部近似整体性态—在某个区间上函数的单调性、函数的极值函数的凸性、渐近性、图形2020/5/142微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。2020/5/143第十讲微分中值定理一、费尔马(Fermat)定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理2020/5/144).()())()(()()(),(.)()(0000000或极小值点的极大值点为并称或极小值取得极大值在则称函数或有若定义有的某邻域在点设函数fxxfxfxfxfxfxUxxUxxf一、费尔马(Fermat)定理（一）极值的定义：2020/5/1450x1xxyo)(xfy极大值)(0xf极小值)(1xf)(极大值点)(极小值点极值的研究是微积分产生的主要动力之一2020/5/1460)(,)(,)(000xfxxfxxf则必有可导在点并且取得极值在点设函数（二）费尔马定理(极值必要条件)..0)(:]1[00驻点这种点称为的一个极值点函数不一定是的点满足注意fxxf.0)(]2[0必要条件是可导函数取得极值的注意xf2020/5/147xyo3xy0)0(32yxy不是极值点0x驻点未必是极值点！2020/5/148[证])0)(0)(:(00xfxf且只须证明.)(0处取得极大值在点不妨设xxf)()(0xfxf有内的邻域在点即,),(000xxx000)()()(xxxfxfxxf考察0)()(000xxxfxfxx0)()(000xxxfxfxx2020/5/149并且有都存在和所以存在因为,)()(,)(000xfxfxf0)()(lim)()(00000xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000xxxfxfxfxfxx0)(0xf2020/5/1410微分中值定理的引入.,.,平行的切线与弦在点使得曲线上至少存在一点那麽切线有连续不断且其上各点都平面曲线ABCABCABAB(((AB切线平行于弦CAB2020/5/1411xyC轴切线平行于xoabAB0)(f2020/5/1412xoAB切线平行于弦CAB)()()(fabafbfyab2020/5/1413xoAB切线平行于弦CAB)()()()()()(gfagbgafbfy)(ag)(bg)(g)()()(btatfytgx:的参数方程AB)(af)(bf)(f2020/5/1414使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数,),(),()()3(;),()2(;],[)1()(babfafbabaxf)(0)(baf二、罗尔(Rolle)定理2020/5/1415使得内至少存在一点则在内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数,),(,),()2(;],[)1()(bababaxf)()()()(bafabafbf三、拉格朗日(Lagrange)定理2020/5/1416使得内至少存在一点则在且内可微在开区间上连续在闭区间满足条件：设函数,),(.0)(,),()2(;],[)1()(),(baxgbabaxgxf)()()()()()()(bagfagbgafbf四、柯西(Cauchy)定理2020/5/1417怎样证明罗尔定理？先利用形象思维去找出一个C点来！想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！CxyoabABC2020/5/1418.],[)(,)1(mMbaxf和最小值最大值上达到在闭区间知由条件].,[,)(,)1(baxMxfmM则若],[,0)()(baxxfxf常数有内任取一点作为可在因此,),(,ba0)(f,)2(mM若).(,)()(afmMbfaf不等于至少有一个和知由).(afM不妨设罗尔定理的证明：2020/5/1419)()(baMf即处达到某点内部只能在最大值这就是说从而有因为,),(,).(),()(baMbfMafbf于是由费尔马定理知因而是极大值内部达到且在是函数的最大值又存在所以因为.,),(,)(.)(),,(baffba)(0)(baf2020/5/1420怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件:)()(bfaf则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件:)()(bfaf则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。即寻求未知事物通向已知领域的“桥”！因此想到利用罗尔定理！2020/5/1421xo0)(:kakxafyAB方程弦CABabafbfk)()(yabx)(xh21)()()(kkakxafxfxh21)()()(kkakxafxfxh满足罗尔定理条件0)(h21)()(kkxfxh桥2020/5/1422)()()()()()(axabafbfafxfxF).()(,),(,],[)(:bFaFbabaxF且可导内在上连续在容易验证拉格朗日定理的证明：构造辅助函数使得内至少存在一点在由罗尔定理知,),(,ba0)()()()(abafbffFabafbff)()()(拉格朗日中值公式2020/5/1423abafbff)()()(拉格朗日公式各种形式)()()()(abfafbf)()()()(1212xxfxfxfxfxfxxf)()()(00xxxfxfxxf)()()(000),(ba),(ba),(21xx),(00xxx)10(2020/5/1424思考题：有什麽区别？限增量公式比较微小增量公式与有)()()()(000xxxfxfxxfxxxfxfxxf)()()(0002020/5/14250],[xba上任意取定一点在))(()()(00xxfxfxf条件满足拉格朗日中值定理上或在],[],[)(],,[00xxxxxfbax.],[,],[)(上恒为常数在则上恒为零在若bafbaxf推论1：[证]有由拉格朗日中值定理,0)()(0xfxf之间与在0xx0)(f已知常数)()(0xfxf2020/5/1426)()()(],[),()(],[是常数其中有则有若CCxgxfbaxxgxfbax推论2：).(],[),0)((0)(],[单调减少上单调增加在则有若bafxfxfbax推论3：).(],[),0)((0)(],[严格单调减上严格单调增在则有若bafxfxfbax推论4：2020/5/1427.0)()(agbg先证矛盾！这与假设条件使得存在一点由罗尔定理知0)(,0)(),,(,xgcgbac用反证法)()(,0)()(agbgagbg即假设柯西中值定理的证明：构造辅助函数)]()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF即使得故存在满足罗尔定理条件,0)(),,(,)(FbaxF)()()()()()(gfagbgafbf2020/5/1428辑关系：四个定理之间有如下逻费尔马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理2020/5/1429?]1[根讨论下列方程有几个实例1222xxx零点问题图形发现三个交点而且大体上能确定位置以下证明恰好有三个根-3-2-111234246810204060801001201222xxyyx交点个数该方程实根个数就是两条曲线2020/5/1430首先证明至少有三个根计算表明0)10(,02)1(,023)1(,043)2(ffff根据介值定理122)(2xxxfx令)10,1(,)1,1(,)1,2()(和在xf各至少有一个零点因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法有四个相异实根0122)(2xxxfx假定方程2020/5/1431至少有三个相异实根02222ln)(xxfx根据洛尔定理至少有两个相异实根022)2(ln)(2xxf至少有一个实根02)2(ln)(3xxf矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根2020/5/1432)0)(,0)(;0)(,0)((bfafbfaf或者直观观察可以启发思路)(),(bfaf在第一种情形,都不是最小值0)()(,],[)(]2[bfafbaxf并且可导在设例0)(),,(fba使得存在所以最小值一定在区间内部达到ba)(af)(bfyxab)(af)(bfyx2020/5/1433.0)(,0)(bfaf不妨设.)(0)(不是区间上的最小值也又可以推出利用条件bfbf.),(达到内部某个点于是最小值在ba.0)(),,(:fba由费尔马定理推出可知即由0)()(lim,0)(axafxfafax)()(,afxfax有充分近时距当不是区间上的最小值)(af[证]2020/5/1434证明思路直观分析[例3]0)(,),0(.0)(lim,0)0(,),0(),,0[fxfffCfx则存在并且可导在设内部达到最大或最小值必然在),0()(xfxyo2020/5/1435[证]0)(),0(xf如果在结论自然成立不恒等于零在不妨假设),0()(xf0)(),0(00xfx使得0)(0xf不妨设0)(limxfx)()(,,0101xfxfxxxx根据连续函数的最大最小值定理使得存在,],0[1x}0|)(max{)(1xxxff0并且}0|)(max{)(xxff是驻点所以内部在由于,),0(0)(f2020/5/1436证明恒等式例4)1(2arccosarcsinxxx)1(01111)(22xxxxf则)1(arccosarcsin)(xxxxf令知理的推论于是由拉格朗日中值定1)1()()(xccxf为常数20arccos0arcsin)0(f又[证]2020/5/1437时有当又1,x21arccos1arcsin)1(f于是得到)1(2arccosarcsinxxx)1(2arccosarcsinxxx故2)1arccos()1arcsin()1(f2020/5/14382211,05aabarctgaarctgbbabba有不等式时证明当例],[)(baxarctgxxf令且可微内在开区间上连续在闭区间满足条件：显然,),()2(;],[)1()(,babaxf211)()(xarctgxxf[证]2020/5/1439)()(112baabarctgaarctgb有理于是由拉格朗日中值定,222111aababbab因为所以有2211aabarctgaarctgbbab2020/5/1440.),(0)(:,0)