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第二节有限元法及其发展引言实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。引言其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形状、材料特性和外部载荷的不规则性，求得解析解却是很困难的。因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算法有许多种，但常用的数值分析方法就是差分法和有限元法。差分法：它把微分dx，dy，dz变成差分Δx，Δy，Δz，把微分方程变成代数方程组。如果是一般规则的曲面，对方程和边界条件的表达都要增加很多困难，差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近似值（差分网格上的点）。但是对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难于应用了。因此这种方法的适用性有限制，特别对有不同构件组合成的结构，很难使用差分方法。差分法2.1有限元法的基本概念有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。2.1.1有限元法：把求解区域划分成由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。2.1.2自由度（DOFs）自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位对象自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。载荷载荷2.1.3节点和单元有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。2.1.3节点和单元(续)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB.......AB...1node2nodes2.1.3节点和单元(续).节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL一维杆单元(铰接)UX,UY,UZ一维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ2.1.3节点和单元(续)2.1.4单元形函数单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法,因此，单元形函数提供一种描述单元内部结果的“形状”，是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。2.1.4单元形函数（续）遵循原则:当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。同时，在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似(不理想结果).22.1.4单元形函数(续)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..4有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。实际系统有限元模型2.1.5有限元模型有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟,并利用简单而又相互作用的元素即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统,是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计。1）每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；2）模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；3）单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。2.1.6有限元分析2.2有限单元法的特点①把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散点；②不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。③理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。④具有灵活性和适用性，适应性强。⑤在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。2.3有限元法的发展概况2.3.1有限元法的由来1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人确定单元特性的直接刚度法。1960年Clough进一步处理了平面弹性问题之后，由结构力学工作者用来解决复杂的强度分析问题的。采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法”，简称“有限元法”。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来。2.3.2有限元法涉及的内容有限元法在数学和力学领域所依据的理论；单元的划分原则；形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；计算机程序设计技术；向其他各领域的推广。2.4有限元法的应用有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。①可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）；②可求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题）；③可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎是用于所有连续介质和场的问题。结构分析结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。静力分析用于静态荷载.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.超弹密封结构分析（续）模态分析：计算线性结构的自振频率及振形.谱分析是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作响应谱).提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显式动力学分析模块。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.结构分析（续）结构分析（续）谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.特征屈曲分析-用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状.(结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析.)专项分析:断裂分析,复合材料分析，疲劳分析动力分析包括质量和阻尼效应。模态分析，用于计算固有频率和振型。谐响应分析，用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应。瞬态动力学分析，用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。可进行显示动力分析模拟以惯性力为主的大变形分析。用于模拟冲击、碰撞、快速成形等。热分析热分析用于确定物体中的温度分布。可模拟三种热传递方式：热传导、热对流、热辐射。稳态分析忽略时间效应瞬态分析确定以时间为函数的温度值等。可模拟相变（熔化及凝固）电磁分析电磁分析用于计算电磁装置中的磁场静态磁场及低频电磁场分析模拟由直流电源，低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场。例如：螺线管制动器、电动机、变压器磁场分析中考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。流体分析计算流体动力学(CFD)用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流，可压缩和不可压缩流体，以及多组份流。应用：航空航天，电子元件封装，汽车设计。典型的物理量是：速度，压力，温度，对流换热系数。耦合场分析耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：热-应力分析、压电分析（电场和结构）、声学分析（流体和结构）、热-电分析、感应加热（磁场和热）、静电-结构分析双金属片受热变形2.5有限元法的分类有限元法可以分为两类：即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。2.5.1线弹性有限元线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。2.5.2非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。有限元求解非线性问题可分为以下三类：3）非线性边界（接触问题）在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。2.6有限元法的软件简介1.6.1通用有限元软件的共同之处有限元的高度通用性与实用性导致了有限元通用程序的发展。四十多年来，有限元通用软件的发展在数量和规模上是惊人的。这些通用有限元软件的共同之处可归结为以下几点：1）功能强大。一般都可以进行多种物理场分析，如结构分析、温度场分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等；2）具有丰富的材料库。可以处理多种材料，如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶瓷、混凝土、复合材料等；3）具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正；2.6.1通用有限元软件的共同之处4）具有强大的后处理及图像处理功能；5）具有与多种CAD系统直接连接的接口；6）具有良好的用户开发环境；7）具有良好的维护和培训能力（ＧＵＩ）；8）技术成熟，已推向市场多年，版本不断的更新。2.6.1通用有限元软件的共同之处2.6.2几个著名的通用有限元软件简介1.ANSYSANSYS软件是美国ANSYS公司的产品，该公司成立于1970年，公司总部位于美国宾夕法尼亚的匹兹堡。ANSYS软件是融结构、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件，可广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。