08张量分析3

1第三章第三章第三章第三章笛卡儿张量分析笛卡儿张量分析笛卡儿张量分析笛卡儿张量分析张量分析研究张量函数的微积分。张量函数中，最基本、应用最广泛的是自变量为空间位置向量和时间的张量函数（即张量场）。本章重点讨论笛卡儿张量场的微分与积分。3.1张量函数张量函数张量函数张量函数与张量场与张量场与张量场与张量场函数是自变量与因变量的对应关系，更一般地称映射映射映射映射。张量函数的形式比较丰富，自变量可以为0到n阶张量，因变量亦可为0到n阶张量。例如
质点绕轴的转动惯量：()nnInNOIf==ii
二阶张量的迹：==()trAAIf
质点的运动轨迹：()rrt=
柯西应力公式：()ffnnN==iσσσσ
弹性体应力应变公式：==:()FCσσσσεεεεεεεε如果自变量为空间位置向量r和时间t，则张量函数称为张量场张量场张量场张量场，例如
密度场：(),rρρt====
温度场：(),rTΤt====
位移与流速场：(),uurt====
电场：(),EErt====
磁场：(),BBrt====
应力场：(),σσrt====
应变场：(),εεrt====在一定条件下，张量场只随部分自变量的变化而变化，从而形成一些特殊的张量场：
稳态场稳态场稳态场稳态场：()Ar=ΑΑΑΑ，与时间无关，否则为非稳态场非稳态场非稳态场非稳态场
均匀场均匀场均匀场均匀场：()At=ΑΑΑΑ，与空间位置无关，否则为非均匀场非均匀场非均匀场非均匀场
一一一一维场维场维场维场：(,)Txt1=ΤΤΤΤ，与一个空间坐标有关，若再与时间无关是一维稳态场
二维场二维场二维场二维场：(,,)Txxt12=ΤΤΤΤ，与两个空间坐标有关，若再与时间无关是二维稳态场
三三三三维场维场维场维场：(,,,)Txxxt123=ΤΤΤΤ，与三个空间坐标有关，若再与时间无关是三维稳态场为了便于分析与观察，在某些张量场中可以用图形把张量场形象地描绘出来。
向量的矢端线矢端线矢端线矢端线若向量场只与一个变量有关()()aaiτaτ⊳====2,,,,...τxxxt123=相当于三个标量函数()()()a=aτa=aτa=aτ112233（3.1）（3.1）式表示物理空间Oaaa123中曲线的参数方程，所描绘的曲线称为向量的矢端线矢端线矢端线矢端线。。。。
标量场的等值线等值线等值线等值线（等值面等值面等值面等值面）考虑2维稳态标量场，如温度场(,)TTxx12=，令(,)TxxC12=C为任意常数。（3.2）式表示平面上一条曲线，称等值线等值线等值线等值线。当C取不同值表示一组等值线。通常，取各曲线C的差值相等，这样，等值线密的地方，函数变化快，稀的地方变化慢，从而可直观看出物理量的分布与变化情况。若为3维标量场，如点电荷q的电势场()iiVqπεrrxx0=4=，等等等等值值值值面面面面方程为qπεrC04=
向量场的向量线向量线向量线向量线向量场的向量线是空间上一簇曲线，线上各点的切向向量与该点的向量平行（如图3－3）。向量线可直观a1a2a3()aτe1e2e3图3－1向量的矢端线向量的矢端线向量的矢端线向量的矢端线图3－2等温线x1x2T315=T210=T15=V1V2V3V4V1=100V2=80V3=60V4=40等电势面等值面等值面等值面等值面（（（（线线线线））））3看出向量场的方向分布。有时也能在一定程度上反映向量的大小。例如，对于不可压流速场，向量线表示流线，为了满足质量守恒定理，流线稀的地方流速小，流线密的地方流速大（见3.4.3♣2）。向量线上任一点reiix=的微分reiiddx=必与向量线相切（见3．2．3节图3－5），即与该点的向量平行，则向量线微分方程可表示为rad×=0展开得xyzdxdydzaaa==3.2一元张量函数一元张量函数一元张量函数一元张量函数的的的的微分微分微分微分一元张量函数微分是张量微分的基础，它的自变量只有一个τ，可代表任一个坐标，时间或其它变量,,,,...τxxxt123=函数值可以是任意阶张量()AA=τ（3.2）我们先讨论张量的导数，然后定义张量的微分。3．．．．2．．．．1张量的导数张量的导数张量的导数张量的导数定义定义定义定义♣导数导数导数导数的定义的定义的定义的定义我们以二阶张量()()AeeijτAτ=ij为例，定义张量的导数：：：：★注注注注:基向量是与自变量无关的常向量基向量是与自变量无关的常向量基向量是与自变量无关的常向量基向量是与自变量无关的常向量图3－3流线流线流线流线()urx2x1x3r4()()()()()()()ΔΔΔΔeeeeAΔAAAΔΔΔeeΔijijττijijτAττAττττττττAττAττ→0→0→0+-+-===+-=，ijijijddlimlimlim（3.3）括号中每个分量表示常规的一元标量函数的导数，所以有()()()ΔΔΔijijijijτAττAτdAAττdτ→0+-==’lim（3.4）且
【ijβ与τ无关无关无关无关】kijijijkkijdββAdAdAββdτdτdτ′==ℓℓℓ这说明★张张张张量导数是量导数是量导数是量导数是与原张量与原张量与原张量与原张量同阶同阶同阶同阶的的的的张量张量张量张量，，，，其分量为原张量分量的其分量为原张量分量的其分量为原张量分量的其分量为原张量分量的导导导导数数数数()()AAeeijτAττ==，ijdd’’’’（3.5）♣向量向量向量向量导数导数导数导数的的的的几何意义几何意义几何意义几何意义我们知道标量导数的几何意义是切线斜率，这里讨论向量导数的几何意义。如图3－4，在向量坐标iv构成的物理空间中，可画出向量矢端线。由导数定义，()aτ’’’’是ΔaΔτ的极限位置，ΔaΔτ与割线Δa平行，割线的极限即为切线。()aτ’’’’指向由ΔaΔτ的指向决定，当Δτ0，Δa指向τ增大方向，而ΔaΔτ与Δa同方向，故ΔaΔτ指向τ增大方向。当Δτ0，Δa指向τ减小方向，ΔaΔτ与Δa反方向，ΔaΔτ仍指向τ增大的方向。可见★向量导数为矢端线切线矢量向量导数为矢端线切线矢量向量导数为矢端线切线矢量向量导数为矢端线切线矢量，，，，方向指向方向指向方向指向方向指向自变量增大的方向自变量增大的方向自变量增大的方向自变量增大的方向一阶以上的张量一般无几何意义。()aΔττ+()aτ()aτ’’’’Δaa1a2a3e1e2e3图3－4向量导数的意义向量导数的意义向量导数的意义向量导数的意义53．．．．2．．．．2张量函张量函张量函张量函数数数数的求导法则的求导法则的求导法则的求导法则由定义可证明下面求导法则，其中AB，为1到n阶张量()()()()()()()()()()()CAAABAABAAABABABBAABBAAABABBAAAAAACACdddλλdτdτdτdddddφdφφdτdτdτdτdτdτdddddddτdτdτdτdτdτdφτddddφφdτdτdτdτdτdddφddφdτφφdτdτdτd2==±=±=+=+×=×+×=+=1=-=iii’ 00009(,()Cτφτλ常张量数性函数，常数)（3.6）例例例例题题题题3.1证明()baababddddτdτdτ=+，,ab为向量证：()()()()()()aeeeeeeeeeeeeeeabeebaiijjijijijijiijjjiijjijiijiijjjjiiabababττττaabbbabaττττabddbaττdτdτ====+=+=+=+ddddddddddddddddddddb证毕。★实际应用中实际应用中实际应用中实际应用中，，，，我们一般先将实体式写成并基式我们一般先将实体式写成并基式我们一般先将实体式写成并基式我们一般先将实体式写成并基式，，，，然后对指标分量按标量函数的微分运算法则进行微分然后对指标分量按标量函数的微分运算法则进行微分然后对指标分量按标量函数的微分运算法则进行微分然后对指标分量按标量函数的微分运算法则进行微分运算运算运算运算，，，，从而不需要记忆从而不需要记忆从而不需要记忆从而不需要记忆大量的运算法则大量的运算法则大量的运算法则大量的运算法则。。。。3．．．．2．．．．3张量函张量函张量函张量函数数数数的微分的微分的微分的微分♣微分微分微分微分的定义的定义的定义的定义微分是增量的近似，我们考虑张量（以二阶为例）()()AeeijτAτ=ij的增量6()()()()()ΔAAΔAeeΔeeijijijτ+ττAτAτA=-=-=ijij当Δτ足够小，每个分量ΔijA可由常规的微分()ijijdAAτdτ=’’’’（3.7）取代。则定义张量的微分为()()()()()AAeeeeeeAijijijdddAAτdτAτdττdτdτdτ=====ijijij’’’’’’’’’’’’（3.8）★张量的微分是张量的导数与自变量微分的乘积张量的微分是张量的导数与自变量微分的乘积张量的微分是张量的导数与自变量微分的乘积张量的微分是张量的导数与自变量微分的乘积，，，，是是是是与与与与原张量同阶的张量原张量同阶的张量原张量同阶的张量原张量同阶的张量♣向量微分向量微分向量微分向量微分的的的的几何意义几何意义几何意义几何意义微分是增量的近似，所以ad和Δa永远在()aτ的同侧。由微分定义（2.46）式知，ad平行于()aτ’’’’，当当dτ0，ad与()aτ’’’’同向，当dτ0，ad与()aτ’’’’反向。ad的大小可作下面近似分析（图3－5）()cosaaaddθ≈Δ≈Δ♣张量张量张量张量微分的运算法微分的运算法微分的运算法微分的运算法则则则则易知，微分的运算法同导数的运算法()()()()()()()()()()()(,CAAABABAAAABABABABABABABABABAAAAACACACddλλdddddφdφφdddddddddddφφdφddφdφddφφφλ2==±=±=+=+×=×+×=+=1=-=iii’常张量数性函数，常数) 00009（3.9）()aτdτ+(),aτdτ0’’’’Δa图3－5向量微分的意义向量微分的意义向量微分的意义向量微分的意义(),aτdτ0’’’’()aτad矢端线矢端线矢端线矢端线Odθ73.3张量场的微分张量场的微分张量场的微分张量场的微分3．．．．3．．．．1张量张量张量张量场场场场的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数我们讨论张量场()()(),,AArAAixxxx133===的微分特性。★张量场的偏导数是只有一个坐标变化时的导数张量场的偏导数是只有一个坐标变化时的导数张量场的偏导数是只有一个坐标变化时的导数张量场的偏导数是只有一个坐标变化时的导数，，，，导数的定义与运算法则同一元张量函数导数的定义与运算法则同一元张量函数导数的定义与运算法则同一元张量函数导数的定义与运算法则同一元张量函数共有3个偏导数，组成一个导数组，记为(),,,,,,,,AAAAAAAAiixxxx123123∂∂∂∂=↔=∂∂∂∂由导数定义有,,AeeAeeijkjkjkijkiiAAxx∂∂=↔=∂∂（3.10）这里i为导数组分量的组指标组指标组指标组指标，,jk为张量分量指标。例例例例题题题题3.2设()RARrrmmR2==-i，rejjx=，mejjm=为常向量，RR=，Rm⊥求Aix∂∂解：jjkkjjRxxmmARR22-==RmiiRm==0iAeejjjjjjjiiiiiiARRRRRRxxxRxRRxx22224∂∂∂∂∂1∂===-∂∂∂∂∂∂()jjkjkkjkjiiiiRxxxxmmmmxxxx∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂jijixijijx∂1===0≠∂δ8jjikikjjijiiRmmmmx∂=-=-∂δδδ()()()kkkkkkkiiiikkikiikkiiRRRRRRxxmmxxxxRmmRRmmR2∂∂∂