初中数学解直角三角形综合讲义

1B初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个直角三角形。解：（1）∠A=90°-42°6′=47°54′（2）∵cosB=ca,∴a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3（3）∵sinB=cb,∴b=csinB=287.4×0.6704≈192.7二、研究概念1.条件：直角三角形2.构成和本质[边]两条直角边[角]有一个直角[角]两锐角互余3.特征：[角]两锐角互余，∠A+∠B=90°[边]勾股定理，a2+b2=c2[等式的性质]a2=c2—b2b2=c2—a2勾股定理逆定理[边、角]锐角三角函数[重要线段]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆]直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点[特殊角]30°角所对的直角边是斜边的一半45°角所对的直角边是斜边的22倍4.下位无5.应用：2B三、例题讲解1、在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）（A级）A、asin2αB、acos2αC、asinαcosαD、asinαtanα对象：Rt△ABC中，AD角度：三角函数分析：Rt△ABCcosB=BCABcosα=aABAB=a·cosαRt△ABDsinα=ABADAD=sinα·ABAD=asinαcosα2、正方形ABCD中，对角线BD上一点P，BP∶PD=1∶2，且P到边的距离为2，则正方形的边长是，BD=对象：正方形ABCD对角线BD上的点P角度：直角三角形分析：设P到边的距离为PE。分四种情况：BP=22（1）P到边BC的距离为PE=2，∠DBC=45°BE=PE=2[BP∶PD=1∶2]PD=42BD=62正方形的边长为6（2）P到边AB的距离为PE=2、P到边AD的距离为PE=2、P到边CD的距离为PE=2方法照上。3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=3，则BD=对象：Rt△ABC中BD角度：相似三角形分析：△ABC～△CBDBC2=BD·ABBC=3，AC=3AB=32BD=214、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝21，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。求△ＡＢＣ的面积。对象：△ＡＢＣ的面积角度：锐角函数值分析：ｓｉｎＡ＝21，ｔａｎＢ＝3∠A=30°，∠B=60°∠C=90°△ＡＢＣ是以AB为斜边的直角三角形[ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°]△ＡＢＣ的面积为2325AC=53,BC=55、河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。CADB3现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。(B级)对象：Rt△ABC和Rt△ABD角度：三角函数分析：∠EAC=30°，∠EAD=45°∠ACB=30°,∠ADB=45°AB=xAC=2x，BC=3x，BD=x[CD=50]BD=3x－50x=3x－50x=25(3－1)AC=50(3－1)6、如图某船向正东航行。在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）（B级）对象：右图角度：锐角三角函数分析：很显然，AC=DC，设AE=DE=x，则CE=x,CD=2xBD=220=10BE=x－10tan∠ECB=xx10=33x=5（3+3）AD=10（3+3）7、在海上有一灯塔P，在它周围3海里内有暗礁，一客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P到它北偏东60°，继续行驶10分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西45°，问客轮不改变航线继续前进有无触礁危险？（B级）（此题有现有条件不变的情况下，还可能问：①船离灯塔P的最近距离是多少？②船再走多远，离灯塔最近？③船再行驶多少时间，离灯塔P最近？）对象：右图中Rt△PAC中PC角度：锐角三角函数分析：∠PAC=30∠PBC=45设PC=XBC=X，AC=3XAB=9×6010=2323+X=3XX=4)13(3＜3所以不改变航线继续前进有触礁危险8、将两块三角板如图放置，∠C＝∠EDB＝90º，∠A＝45º，∠E＝30º，AB＝DE＝6。求重叠部分四边形DBCF的面积。（C级）对象：四边形DBCF的面积角度：直角三角形的面积分析：在△EDB中，∵∠EDB＝90°，∠E＝30°，DE＝6，∴3233630tan＝＝DEDB．∴326－－＝DBABAD．又∵∠A＝45°，∴∠AFD＝45°，得FD＝AD．∴31224)326(212122－＝－＝ADSADF．454530E东北BACD4在等腰直角三角形ABC中，斜边AB＝6，所以9412ABSABC＝．∴)31224(9－－＝＝四边形ADFABCDBCFSSS＝15312－9、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少．．．．；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）．（C级）分析：方案1：（1）如图a（测三个数据）（2）解：设HG=x，在Rt△CHG中CG=xcotβ在Rt△DHM中DM=（x－n）cotα∴xcotβ=（x－n）cotα∴x=cotcotcotn方案2：（1）如图b（测四个数据）（2）解：设HG=x，在Rt△AHM中AM=(x－n)cotγ在Rt△DHM中DM=（x－n）cotα∴(x－n)cotγ=（x－n）cotα+m∴x=cotcotcotcotnnm方案3：（1）如图c（测五个数据）（2）参照方案1（2）或方案2（2）小结：①某些斜三角形和其它图形的问题可转化为解直角三角形的问题，在解题中应有“化归”意识；某图形中有多个直角三角形时，应先解元素齐备的直角三角形；某些实际问题可归结为解直角三角形；②通过解直角三角形要进一步领会转化思想、数形结合思想、函数思想、方程思想、分类思想等数学思想方法在解题中的运用。10、据气象台预报，一强台风的中心位于宁波(指城区，下同)东南方向(2108636)千米的海面上，目前台风中心正以20千米/时的速度向北偏西60°的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到强袭击．已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60°方向56千米处．请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强袭击的时间；如果不会，请说明理由．(为解决问题，须画出示意图，现已画出其中一部分，请根据需要，把图形画完整)（C级）分析：过P作东西方向(水平)直线与AB(南北)延长线交于O，延长台风中心移动射线PQ与AO相交于M．∵AHGBDC第3题图AHGBDCαβn方案1图aMHAGBDCαγnm方案2图bMHAGBDCαγnmβ方案3图cM_（宁海）_（宁波）_B_A52108636AP，APOOAP45°，OPAO，∴108336OPAO，36336ABAOBO．∵OPM30°，∴tanOPMO30°=OB3363633)108336(，∴M与B重合，∴台风中心必经过宁海．∴经过宁海的时间为520250(时)．如图C为象山，由题意可得CBP30°+30°=60°，C到PQ的距离sin56CN60°=50328，∴象山会受到此次台风强袭击．求受袭击时间可先求以C为圆心，km50为半径的圆与PQ相交的弦长等于3742)328(5022，∴受袭击时间53720374(时)．∵A到PQ的距离sinABAD60°=503362372，∴宁波不会遭受此次台风的强袭击．综上所述:宁波不会遭受此次台风的强袭击；宁海:会，受袭击时间为5时；象山:会，受袭击时间537时．(约1时13分)11、ACBCDACCDABDABC，∠，⊥的中点，为中，在△41sin5，求BC长．（B级）解法一：过B做BE⊥AC交AC延长线于E，在△ABE中，DC为△ABE中位线∠DCB＋∠BCE＝90°，20cos541cossinBCECEBCCEACBCEDCB∠∴，∠∠∴解法二：过D做DE∥AC，则BE为AC中位线，DE⊥DC，∴在RtDCEDE=12△中，，∠，∴ACCEDEDCEBCCE52521410220sin解法三：做EB⊥DC交CD延长线于E，在△DEB和△DCA中，∠BDE＝∠CDA，AD＝DB，∠BED＝∠ACD＝Rt∠∴△DEB≌△DCA∴EB＝AC＝5在△中，∠×．RtEBCBCEBDCBsin5420612、测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角45°，沿着倾斜30°的山脚前进1000米来到R处，再测得山顶仰角60°，求山高BC．解：过R做RF⊥AC，RE⊥BC分别交AC、BC于F、E，在Rt△ARF中，AFARRAFRFARRAF·∠×（米）·∠×（米）cossin1000325003100012500在Rt△BRE中，设BR＝x米，REBRBRExxBEBRBRExx·∠·°·∠·°coscossinsin6026032∴在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴AC=BCACAFFCAFRExBCBEECBERFx5003250032∴5003250032xx解得x＝1000BCBEEC50035005001350013（）（米）∴山高（）米．四、课后练习的两的正弦分别是方程、中与锐角△、在0212BAABCRt12xx根，则此三角形为[C]A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2、在与楼水平距离为h的A处（A的高度略去不计），测得楼顶的仰角为60°，则楼高[B]7BAECDCDBAABhCD．　　．　　．　　．hh2332333、河的对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端D的仰角为30°，前进30米到达B处，测得D的仰角为45°，求电线杆的高？对象：CD的长角度：锐角三角函数分析：（设BC=x）CD=x,AC=30+xRt△ADC中∠A=30°33ACDCX=x3033x=15+153电线杆的高为15+1534、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠EBC=∠DEC=30°，若AE=6cm，求DC的长。（3＋3）对象：DC的长角度：锐角三角函数分析：（设EC=x）∠A=45°BC=AC=6+xRt△BEC中∠EBC=30°33BCECEC=BC33x=x633X=313Rt△DEC中∠DEC=30°33ECDCDC=335、如图：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝900，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝51，则AD的长为（）(A)A、2B、2C、1D、226、从塔顶A测得一楼顶C的俯角为α，楼底D的俯角为β，已知B、D两点间的距离为akm，求楼高CD。7、太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上