第2章-随机信号及其时域统计特性

1随机信号的描述全面完整描述（统计特征）宏观概括描述（数字特征）概率分布函数概率密度函数时域数字特征（均值、方差、自相关）频域数字特征（功率谱）经典谱估计现代谱估计自相关（均方值）均值自协方差（方差）2第二章随机信号(随机过程)及时域统计特性32.1随机信号的基本概念及统计特性2.2连续时间随机信号的微分和积分2.3平稳随机信号的判定及其遍历性目录2.4两个随机信号间的联合平稳和联合遍历2.5典型的随机信号42.12.1随机信号的基本概念及统计特性基本要求：深入理解随机信号的定义了解随机信号的几种分类理解平稳随机信号的概率分布掌握平稳随机信号的时域统计特性52.2.1随机信号的定义1、实验观察接收机的噪声电压，对其多次采集，各次所得电压波形xi(t)都不一样，即呈现随机性6样本函数：，，，…，，都是时间函数，称为样本函数。即每次所采集的电压波形。)(1tx)(2tx)(3tx)(txn72.由实验角度对随机信号下定义893.定义的理解：随机信号的两种定义，从两个角度描述了随机信号。作观测时，定义1:单次试验所得的样本，可得到随机信号的统计特性；（样本函数/时间函数）理论分析时，定义2:多次试验多个样本。将n个样本中的t0时刻记录值，归拢为一个集合，则该集合=n维随机变量。试验次数n越多，所得到的统计特性越准确。10随机变量与时间无关，与次数有关随机信号与时间相关的一族随机变量确定性信号：每一时刻的取值是固定数值随机性信号：每一时刻的取值是随机变量11例1设具有随机初始相位的正弦波0cos,XtAtt其中A与ω0是正常数，在02，之间服从均匀分布。判断X(t)是否为一随机信号。解：(1)固定时间t，X(t)是随机变量，Xtt，是一族随机变量(2)对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ，0cosXtAt是随时间变化的函数，即样本函数。X(t)是一随机信号。122.2.2分类2.2.2随机信号分类1.按随机信号的时间和状态来分类(1)连续型随机信号：时间t取值连续，且对随机信号任一时刻的取值都是连续型随机变量。即时间连续、幅度连续。1t)(1tX(2)离散型随机信号：时间t取值连续，且对随机信号任一时刻的取值都是离散型随机变量。即时间连续、幅度离散。1t)(1tX(3)连续型随机序列：相当于对连续型随机信号的采样。即时间离散、幅度连续，(4)离散型随机序列：相当于对离散型随机信号的采样。即时间离散、幅度离散。（计算机所处理的对象）13141516离散型随机序列172.按样本函数的形式来分类不确定的随机信号：随机信号的任意样本函数的值不能被预测。例如：接收机的噪声电压波形。确定的随机信号：随机信号的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。18例2设随机信号定义为：2,1,01,nnTtTnAAtX或其中A与-A等概出现，T为一正常数，(1)画出典型的样本函数图形。(2)将此随机信号归类。(3)该随机信号是确定性随机信号吗？离散型随机信号不是确定性随机信号19例3离散型随机信号的样本函数皆为常数，即X(t)=C=可变常数，其中C为随机变量，其可能值为C1=1，C2=2和C3=3，它们分别已概率0.6、0.3及0.1出现。X(t)是确定性随机信号吗？X(t)是确定性随机信号203.其他分类按概率分布函数或概率密度函数：正态随机信号、泊松随机信号、马尔可夫随机信号按平稳性：平稳随机信号、非平稳随机信号按遍历性：遍历随机信号、非遍历随机信号按功率谱密度特性：宽带随机信号、窄带随机信号等212.2.3随机信号的概率分布2.2.3随机信号的概率分布函数与概率密度函数1.一维概率分布函数与一维概率密度函数随机信号X(t)在任意tiT的取值X(ti)是一维随机变量。记为Fx(xi；ti)=P{X(ti)≤xi}为随机信号X(t)的一维概率分布函数。若的偏导数存在，则有(,)(,)XiiXiiiFxtfxtx),(txFX一维概率密度函数222.二维概率分布函数和二维概率密度函数FX(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}随机信号X(t)在时刻t1和t2的取值X(t1),X(t2)，二维概率分布函数FX(x1,x2;t1,t2)可表示这两状态间的内在联系,，即二随机事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即随机信号X(t)的二维概率分布函数。若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX为随机信号X(t)的二维概率密度函数233.n维概率分布函数和n维概率密度函数随机信号在任意n个时刻的取值)(tXnttt,,,21)(,),(),(21ntXtXtX)](,),(),([21ntXtXtX})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(构成n维随机变量即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随机信号的n维分布函数和n维概率密度函数为244.概率分布函数和概率密度函数的性质定义单调递增性概率分布与概率密度之间的关系：取值范围：随机序列2526概率密度函数与概率分布函数的应用产品质量控制(生产设备的工作稳定性)图(a)：一批零件的加工尺寸图(b)、图(c)可判断加工过程的质量高低，进而可评价或判断机床工具是否应该调整（b）+5V-5V幅值概率密度函数0(a)—随机信号(b)—概率密度函数(c)—概率分布函数（c）+5V-5V幅值0概率分布函数（a）0t幅值5V-5V27利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱振幅峰图(a)：上升的峰值A振幅频次图(b)：横座标--振幅峰，纵座标--振幅峰在观测时间内出现的频次。即动态波形峰值出现的频次分布。累计频次图(c)：对图(b)沿横坐标进行累计。图(b)和(c)即随机载荷谱。随机载荷谱可用于判断材料所要具备的耐受程度频次（频率）(b)(c)幅值幅值(a)A1A2A3（a）输入信号（b）振幅频次分布（c）累计频次分布概率密度函数与概率分布函数的应用28概率密度函数用于机器状态判断新变速箱噪声的概率密度曲线如图(a)所示，旧变速箱噪声的概率密度曲线如图(b)所示(b)(a)00p(x)p(x)(a)新变速箱(b)旧变速箱xx概率密度函数与概率分布函数的应用29302.2.5随机信号的数字特征2.2.5随机信号的数字特征一般来说，随机变量的数字特征:确定值；随机信号的数字特征:确定性函数。计算随机信号的数字特征；1）先把时间t固定，2）然后用随机变量的分析方法来计算。311.数学期望（一阶原点矩）dxtxxftXEtmX);()]([)(显然，是某一个平均函数，随机信号的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：)(tmX物理意义：如果随机信号X(t)是输出电压，则其数学期望就是某瞬时t的输出电压的统计平均值。均值(数学期望)---mx(t)/μx(t)322.均方值（二阶原点矩）和方差（二阶中心矩）22[()](;)XEXtxfxtdx均方值：222()[(()())][()()](;)XXXXtEXtmtXtmtfxtdx方差：222()[()][()]XXtEXtmt均值、均方值和方差的关系：33物理意义：如果表示噪声电压，则均方值和方差分别表示单位电阻上的瞬时功率的统计平均值；单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。)(tX)]([2tXE2()Xt标准差或均方差：2()()XXtt＝22[()](;)XEXtxfxtdx均方值：222()[(()())][()()](;)XXXXtEXtmtXtmtfxtdx方差：方差：信号X围绕均值mx的波动程度34时域参数(1)均值TTTxdttx01)(lim(2)均方值2210lim()TxTTψxtdtTxTTxdttx0212)(lim222xxx(3)方差三者间的关系353.自相关函数注意有些书标为Rxx(t1,t2)/Rx(t1,t2)比较具有相同数学期望和方差的两个随机信号。36自相关函数用来描述随机信号任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用描述。),(21ttRX)]()([),(2121tXtXEttRX12121212(,;,)Xxxfxxttdxdx当时间间隔t1=t2时，自相关函数就是均方值。373839自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数x(t)t0(a)正弦信号Rx()0(b)正弦信号的自相关函数x(t)t0(c)正弦加随机噪声信号Rx()0(d)正弦加随机噪声的自相关函数40自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数x(t)t0(e)窄带随机噪声Rx()0(f)窄带随机噪声的自相关函数x(t)t0(g)宽带噪声信号Rx()0(h)宽带噪声信号的自相关函数41自相关函数及其应用寻找周期成分：信号的周期性分量在自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。用噪声诊断机器运行状态：①正常机器的噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加而成，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。②异常机器的噪声则会包含周期性成分，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。③可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量，从而判断机器是否异常。42自相关分析诊断的实例汽车车身振动信号)(xRs15.0)(b)(at0)(tx43自相关分析诊断的实例自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置Rx()0(a)正常状态变速箱噪声信号的自相关函数Rx()0(b)异常状态变速箱噪声信号的自相关函数444.自协方差函数注意有些书标为COVxx(t1,t2)/Cxx(t1,t2)/Cx(t1,t2)若用随机信号的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用表示，它反映了任意两个时刻的起伏变化量之间相关程度。),(21ttKX45自协方差和自相关函数的关系自协方差方差；自相关均方值221221222(,)(,)[(()())][()]()(,)(,)[()()][()]()=[()]()()XXXXXXXXXKttKttEXtmtDXttRttRttEXtXtEXttEXtmtmtttt21令则121212(,)(,)()()XXXXKttRttmtmt121122(,)[(()())(()())]XXXKttEXtmtXtmt12122112[()()]()[()]()[()]()()XXXXEXtXtmtEXtmtEXtmtmt46设两个随机信号和，它们在任意两个时刻t1，t2的取值为随机变量、,则定义它们的互相关函数为：)(tX)(tY)(1tX)(2tY121212(,)[()()](,;,)XYXYRttEXtYtxyfxyttdxdy式中，1212(,)(,;,)XYfttxytt是随机信号和的二维联合概率密度。)(tX)(tY1、互相关函数2.2.6随机信号间的关系2.2.6两个随机信号之间的关系47互相关函数的性质如下48互相关分析的应用实例利用互相关分析测定船舶的航速传感器x2(t)传感器x1(t)v信号源1信号源2l(a)海床τ(b)x1(t)x2(t)τmaxRx1x2()max/lv49互相关分析的应用实例利用相关分析探测地下水管的破损地点x2(t)x1(t)ss传感器2水管道工作井工作井漏水处放大器放大器互相关分析传感器1υmaxτmax)(21xxRτllmax21vs若max为正，则破损点在两端