(2014.2.27)导数应用：含参函数的单调性讨论(一)

含参函数的单调性讨论（一）一、思想方法：'()0...(),...'()0...(),...fxxABfxABfxxCDfxCD增区间为和减区间为和讨论函数的单调区间可化归为：解导函数大于零或小于零的不等式问题的讨论。'()0()'()0()'()0()xDfxfxDxDfxfxDxDfxfxD时在区间上为增函数时在区间上为减函数时在区间上为常函数二、典例讲解例1讨论xaxxf)(的单调性，求其单调区间。解：xaxxf)(的定义域为),0()0,()0(1)('222xxaxxaxf(它与axxg2)(同号)（1）当0a时，)0(0)('xxf恒成立，此时)(xf在)0,(和),0(都是单调增函数，即)(xf的增区间是)0,(和),0(；（2）当0a时axaxxxf或)0(0)('axxaxxf00)0(0)('或此时)(xf在),(a和),(a都是单调增函数，)(xf在)0,(a和),0(a都是单调减函数，即)(xf的增区间为),(a和),(a；)(xf的减区间为)0,(a和),0(a。二、典例讲解例1讨论xaxxf)(的单调性，求其单调区间。步骤小结：1、先求函数的定义域；2、求导函数（通分、因式分解，便于讨论正负）；3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况；4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）；5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1:讨论xaxxfln)(的单调性，求其单调区间。解：xaxxfln)(的定义域为),0()0(1)('xxaxxaxf(它与axxg)(同号)（1）当0a时，)0(0)('xxf恒成立，此时)(xf在),0(为单调增函数，即)(xf的增区间为),0(，不存在减区间；（2）当0a时axxxf)0(0)('；axxxf0)0(0)('此时)(xf在),(a为单调增函数，)(xf在),0(a是单调减函数，即)(xf的增区间为),(a；)(xf的减区间为),0(a.例2．讨论xaxxfln)(的单调性。解：xaxxfln)(的定义域为),0()0(11)('xxaxxaxf(它与1)(axxg同号)（1）当0a时，)0(0)('xxf恒成立（此时1'()0fxxa舍去）此时)(xf在),0(单调递增，即)(xf的增区间为),0(；（2）当0a时，)0(0)('xxf恒成立，（此时1'()0fxxa不在定义域内，舍去）此时)(xf在),0(单调递增，即)(xf的增区间为),0(。（3）当0a时，令axxf10)('于是，当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下表：x)1,0(aa1),1(a)('xf0)(xf增↗减↘（3）当0a时，令axxf10)('于是，当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下表：x)1,0(aa1),1(a)('xf0)(xf↗↘所以，)(xf在)1,0(a为增函数，)(xf在),1(a是减函数，即)(xf的增区间为)1,0(a；)(xf的减区间为),1(a.小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i)，ii)可合并为一类结果。对于二次型函数（如1)(2axxg）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。例3求1)(232xaxxaxf的单调区间。解：1)(232xaxxaxf的定义域为R，)1)(13(123)('22axaxaxxaxf（1）当0a时，01)('xf)(xf减区间为R，无增区间。（2）当0a时032a，)('xf是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21aaxaxxf得，因此可知①当0a时，21xxaxaxfaxaxxf3110)(';3110)('或所以此时，)(xf的增区间为),31()1,(aa和，)(xf的减区间为)31,1(aa②当0a时，21xx1111'()0;'()033fxxxfxxaaaa或所以此时，)(xf的增区间为),1()31,(aa和；)(xf的减区间为)1,31(aa。变式练习2．求12131)(23xaxxxf的单调区间。解：)(xf的定义域为R，1)('2axxxf，)('xf是开口向上的二次函数，42a①当220a时，0)('xf恒成立所以此时)(xf在R上单调递增，)(xf增区间为R，无减区间。②当220aa或时令212221,24,240)('xxaaxaaxxf得因此可知)(xf与)('xf随x变化情况如下表x),(1x1x),(21xx2x),(2x)('xf00)(xf↗↘↗所以此时，)(xf的增区间为),24()24,(22aaaa和；)(xf的减区间为)24,24(22aaaa。思考题设函数2()ln()fxxax若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2e。解：()fx的定义域为()a，∞，2221()xaxfxxa，方程22210xax的判别式248a．（ⅰ）若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx无极值；（ⅱ）若0，则2a或2a．若2a，(2)x，∞，2(21)()2xfxx。当22x时，()0fx；当22222x，，∞时，()0fx，所以()fx无极值若2a，(2)x，∞，2(21)()02xfxx，()fx也无极值．（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，)(xf与)('xf随x变化情况如下表x1(,)ax1x),(21xx2x),(2x)('xf00)(xf↗↘↗故()fx在1xx取得极大值，在2xx取得极小值．当2a时，12xaxa，，从而()fx有()fx的定义域内没有零点，故()fx无极值．综上所述：()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，∞．且()fx的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln2ln22efxfxxaxxaxa．